rownanie bernoulliego

[gufox]

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}+xy=xy ^{3}}\)

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dxy ^{3} }+ \frac{x}{y ^{2} }=x}\)

\(\displaystyle{ podstawiam [ z=y ^{-2}, \frac{dz}{dx}=- \frac{2dy}{y ^{3}dx } \Rightarrow - \frac{dz}{2dx} = \frac{dy}{y ^{3}dx } ]}\)

\(\displaystyle{ - \frac{dz}{2dx}+xz=x}\)

rownanie uproszczone

\(\displaystyle{ \frac{dz}{2dx}=xz}\)


\(\displaystyle{ \int \frac{dz}{z}= 2\int xdx}\)

\(\displaystyle{ ln|z|=x ^{2}+C}\)

\(\displaystyle{ ln|z|=lne ^{x ^{2} }+lnC}\)

\(\displaystyle{ z=e ^{x ^{2} }C(x)}\)

\(\displaystyle{ z'=C'(x)e ^{x ^{2} }+2C(x)e ^{x} x}\)

wracam do postawnienia:

\(\displaystyle{ - \frac{1}{2}(C'(x)e ^{x}+2C(x)e ^{x ^{2}x })+C(x)e ^{x ^{2}}x=x}\)

\(\displaystyle{ - \frac{1}{2}C'(x)e ^{x ^{2} }=x}\)

\(\displaystyle{ C'(x)e ^{x ^{2} }=- 2x}\)

\(\displaystyle{ C'(x)= -\frac{2x}{e ^{x ^{2} } }}\)

Czy ja to dobrze probuje rozwiazywac i czy do tego momentu to jest dobrze?

to chyba duzo prosciej i powinno sie rozwiazac metoda przewidywan ale ja nie umiem tej metody, jesli ktos bylby tak mily i mi to przy okazji wytlumaczyl to bylbym wdzieczny

Dziekuje ze pomoc.

racja poprawilem ten blada i teraz powinno byc dalej tak:

\(\displaystyle{ C(x)=- 2\int \frac{xdx}{e ^{x ^{2} } }}\)

ale co tu chyba mi nie wyjdzie :/

[6hokage]

Wydaje mi się, że jest ok. Metoda przewidywań polega na wykorzystaniu faktu, że całka ogólna równania niejednorodnego jest równa sumie całki ogólnej r. jednorodnego i jakiejkolwiek całki szczególnej równania niejednorodnego. W skrócie : \(\displaystyle{ y=y_oj. + y_sniejed.}\)
Całkę szczególną metodą przewidywań można znaleźć tylko w niektórych przypadkach (poczytaj sobie o tym, ja się nie będe aż tak rozpisywać). W tym równaniu prawa strona jest wielomianem pierwszego stopnia (x), to oznacza, że istnieje całka szczególna, która jest wielomianem pierwszego lub niższego stopnia, a więc podstawiasz:

\(\displaystyle{ - \frac{1}{2} \frac{dz}{dx}+xz=x}\)
\(\displaystyle{ z=ax+b}\)

\(\displaystyle{ - \frac{1}{2}a+x(ax+b)=x}\)

\(\displaystyle{ - \frac{a}{2}+ax ^{2}+bx=x}\)

Równość wielomianów zachodzi tylko wtedy gdy zachodzi równość współczynników przy tych samych potegach zmiennej, więc a=0, b=1. Czyli ta całka szczególna jest równa 1.

Dodajesz to do całki ogólnej jednorodnego i otrzymujesz, że
\(\displaystyle{ z=Ce ^{x ^{2} }+1}\)

-- 23 maja 2009, o 02:36 --

Zauwazyłem błąd w twoim rozwiązaniu, na końcu zamiast \(\displaystyle{ - \frac{x}{2}}\) powinno być -2x.

[gufox]

cos musilame chyba nakielbasic w tym swoim rozwiazaniu, przeczytalem ze metoda uzmienniana stalej jest pewniejsza niz przewidywan, czyli nia tez powinno sie to dac rozwiazac, w ksiazce jest to zdanie rozwiazane metoda przewidywan wynik jest \(\displaystyle{ y ^{2}= \frac{1}{1+Ce ^{x ^{2} } }}\) a z tego co ja widze w tej metodzie ktora probuje rozwiazywac czyli uzmienniania stalej chyba mi tak nie wyjdzie, prosilbym jeszcze raz o dokladne sprawdzenie.

Bardzo dziekuje za pomoc.

[6hokage]

Wyjdzie, wyjdzie, coś musiałeś źle scałkować.
Masz na samym końcu:
\(\displaystyle{ C'(x)=- \frac{2x}{e ^{x ^{2} } }}\)

Całkujemy prawą stronę przez podstawienie
\(\displaystyle{ e ^{x ^{2} }=t}\)
\(\displaystyle{ 2xe ^{x ^{2} }dx=dt}\)

A więc
\(\displaystyle{ \int_{}^{} - \frac{2x}{e ^{x ^{2} } }dx=- \int_{}^{} \frac{dt}{t ^{2} }= \frac{1}{t}+A= \frac{1}{e ^{x ^{2} } }+A}\)

Czyli \(\displaystyle{ C(x)=\frac{1}{e ^{x ^{2} } }+A}\)

Podstawiasz do wzoru na całkę ogólną równania niejednorodnego:
\(\displaystyle{ z=C(x)e ^{x ^{2} }=e ^{x ^{2} }( \frac{1}{e ^{x ^{2} } }+A)=Ae ^{x ^{2} }+1}\)

Jako, że \(\displaystyle{ z=y ^{-2}}\) otrzymujesz \(\displaystyle{ y=(Ae ^{x ^{2} }+1) ^{- \frac{1}{2} }}\)
Czyli \(\displaystyle{ y ^{2}= \frac{1}{Ae ^{x ^{2} }+1}}\)
I masz taki sam wynik jak w książce.

[gufox]

Dziekuje za pomoc mam jeszcze 1 zadanie:

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}+3y= \frac{x}{ \sqrt{y} }}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{y} \frac{dy}{dx}+3y \sqrt{y} =x}\)

\(\displaystyle{ [z=y ^{ frac{3}{2} } frac{dz}{dx}= frac{3}{2}y ^{ frac{1}{2} } frac{dy}{dx} Rightarrow sqrt{y} frac{dy}{dx}= frac{2}{3} frac{dx}{dx}}\)

\(\displaystyle{ \frac{2}{3} \frac{dz}{dx} +3z=x}\)

\(\displaystyle{ \frac{2}{3} \frac{dz}{dx}=-3z}\)

\(\displaystyle{ \frac{2}{3} \frac{dz}{z}=-3dx}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{2}{3} \frac{dz}{z} =-3 \int dx}\)

\(\displaystyle{ ln|z|=- \frac{9}{2}x+C}\)

\(\displaystyle{ ln|z|=lne ^{- \frac{9}{2}x }+lnC}\)

\(\displaystyle{ z=C(x)e ^{- \frac{9}{2}x }}\)

\(\displaystyle{ z'=C'(x)e ^{- \frac{9}{2}x }- \frac{9}{2}C(x)e ^{- \frac{9}{2}x }}\)

podstawiam do rownania i dostaje po skroceniu

\(\displaystyle{ C'(x)e ^{- \frac{9}{2}x }=x}\)

\(\displaystyle{ C(x)=\int \frac{xdx}{e ^{- \frac{9}{2}x } }}\)

no i stanalem przy tej calke :/ w ksiazce jest to rozwiazane metoda przewidywan ale ja robie tak ze probuje zawsze ta druga. Dziekuje za pomoc.

[6hokage]

Można przez podstawnienie
\(\displaystyle{ t=e ^{- \frac{9}{2}x }}\)

\(\displaystyle{ dt=- \frac{9}{2}e ^{- \frac{9}{2}x }dx}\)

\(\displaystyle{ x=- \frac{2}{9}lnt}\)

\(\displaystyle{ \frac{x}{e ^{- \frac{9}{2}x } }dx=- \frac{2}{9} \cdot \frac{x(- \frac{9}{2}e ^{- \frac{9}{2}x })dx }{(e ^{- \frac{9}{2}x }) ^{2} }= \frac{4}{81} \frac{lntdt}{t ^{2} }}\)

A to już łatwo obliczysz przez części.

[gufox]

mam problem z tym rownaniem aby je przeksztalcic do postaci z ktorej bede mogl "z" wyznaczyc

\(\displaystyle{ 2xy \frac{dy}{dx}+x=y ^{2}}\)

Dziekuje za pomoc.

[meninio]

Wstaw:

\(\displaystyle{ z=y^2 \Rightarrow z'=2yy'}\)

[Mariusz M]

A czy nie lepiej rozdzielić zmienne
No chyba że musisz je rozwiązywać jako Bernoulliego