Matematyka.pl

Udowodnij, że jeżeli n jest dodatnią liczna naturalną, to
\(\displaystyle{ {2}^{n+2}+{3}^{2n+1}}\)
jest podzielne przez 7.

1. Spr. dla n=1 : \(\displaystyle{ 2^3+3^3=35=7 5}\)
2. Zał. ind.: \(\displaystyle{ 2^{k+2} +3^{2k+1}=7s, s N}\)
Teza ind.: \(\displaystyle{ 2^{k+3} +3^{2k+3}=7s', s' N}\)
d-d:
\(\displaystyle{ L=2^{k+3}+3^{2k+3}=2 2^{k+2}+ 3^2 3^{2k+1}=2 2^{k+2} +(2+7) 3^{2k+1}= 2 2^{k+2} + 2 3^{2k+1} + 7 3^{2k+1}= \\ = 2( 2^{k+2} +3^{2k+1}) +7 3^{2k+1}=2 7s+ 7 3^{2k+1}=7( 2s+3^{2k+1})=7s'=P}\)
3. Na mocy zasady indukcji matematycznej...

\(\displaystyle{ 2^{n+2} + 3^{2n+1} \equiv 2^{n+2} + 3\cdot 2^n = 2^n\cdot 7\equiv 0\pmod{7}}\), co konczy dowod.