Matematyka.pl

Temat zamieszam głównie w celach informacyjnych. Konkurs jest organizowany w województwie śląskim już po raz trzeci, jako kontynuacja Wojewódzkiego Konkursu z Matematyki dla uczniów szkół średnich i jest przeznaczony dla uczniów klas I i II szkół ponadgimnazjalnych (aczkolwiek gimnazjaliści też się świetnie w nim sprawdzają, co chyba nie dziwi patrząc na poniższe zadania)
Brał ktoś udział w tegorocznych eliminacjach? (czuję, że z tym będzie ciężko, bo na forum mało jest ludzi ze śląska i to jeszcze w odpowiednim przedziale wiekowym). W tym roku zadania z eliminacji były IMHO banalne (a może to po prostu ja zmądrzałem od ubiegłego roku ) - wyszedłem po godzinie z kompletem zadań (czas na rozwiązanie 2 h)

Zadania z eliminacji rejonowych 2005/2006:

Zad. 1
Niech \(\displaystyle{ a,\,b,\,c}\) będą długościami boków trójkąta. Wykaż, że
\(\displaystyle{ \sqrt{-a+b+c}+\sqrt{a-b+c}+\sqrt{a+b-c}\leq\sqrt{3(a+b+c)}}\)

Zad. 2
Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \sqrt{x-2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}=\frac{1}{x-1}}\)

Zad. 3
W trapez równoramienny o podstawach długości a i b można wpisać koło. Oblicz pole tego koła.

Zad. 4
Dany jest ciąg liczbowy \(\displaystyle{ (a_{n})}\) określony wzorem \(\displaystyle{ a_{n}=1^{4n}+2^{4n}+3^{4n}}\), gdzie \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}_{+}}\). Wyznacz zbiór reszt z dzielenia wyrazów ciągu \(\displaystyle{ (a_{n})}\) przez 5.

nic nie wiedziałam o takim konkursie , a mieszkam w woj. slaskim i jestem w 2 klasie kiedy bedzie kolejny taki konkurs ?:)

Heh. smerfetka no to ból, bo ten konkurs jest tylko dla uczniów do drugiej klasy włącznie czyli za rok już się nie pobawisz Ale są jeszcze "Rozkosze łamania głowy" przy Pałacu Młodzieży w Katowicach (dzisiaj były znaczy się, ale za rok też są ), ale są trzy wady - konkurs badziewnie zorganizowany, płatny i wpuszczają kolesi z Krakowa i okolic (co z wiadomych względów zawyża progi punktowe i zapycha podium ). Z pozostałych to w trzeciej klasie chyba tylko OM No i jeszcze możesz popróbować sił w MINI albo w MwGMiL, ale to już nie są konkursy lokalne. Nic innego mi na myśl nie przychodzi w tej chwili

a kiedy był ten konkurs do 2 klas ? , najczesciej brałam udział w kangurze , ale w tym roku zrezygnowałam:) natomiast w OM tylko w gimnazjum , hmm moze pomysle o tym w przyszlym roku ale to bede musiala zaczac robic jakies zadania typowe dla olimpiady

Ja brałem w tym udział. Zdobyłem 10pkt/20 (co podobno jest niezłym wynikiem jak na I klasę )

skad dowiedzieliscie sie o tym konkursie ? u mnie w szkole nic o tym nie mówili

smerfetka18 ==> Tak to jest jak nauczyciele w szkole są niepociumani Szkoda gadać. Jak coś to podaję , może już nie dla ciebie, ale dla przyszłych pokoleń
Lorek ==> Skąd już znasz wyniki? Człowieku, to było dwa dni temu i u nas mówili, że "może będą pod koniec marca"

eh , szkoda ze ten konkurs nie jest jeszcze dla 3 klas

DEXiu pisze:Lorek ==> Skąd już znasz wyniki?

Mój nauczyciel był jednym ze sprawdzających, więc poznał je. Z mojej szkoły na 4 startujących jeden dostał się na pewno, a jeden nie wiadomo(prawdobodobnie to zależy od ilości uczestników z tymi samymi wynikami) i dlatego trzeba będzie poczekać do końca marca. A dzień po konkursie na matematyce rozwiązywaliśmy te zadania .

dexiu w jaki sposób zrobiłeś to zadanie ztym ciągiem? nie mam pomysłu na to

Wystarczy zrzutowac sobie wierzcholki przeciwlegle do dluzszej podstawy na nia i skorzystac z twierdzenia Pitagorasa (zauwazajac, ze promien okregu wpisanego to polowa wysokosci trapezu opisanego na nim).

zadanie 4 jak trzeba obliczyc ?

1) \(\displaystyle{ 1^{4n}\equiv 1 od{5}}\),
2) \(\displaystyle{ 2^4 \equiv 1\pmod{5}}\), wiec \(\displaystyle{ 2^{4n}\equiv 1\pmod{5}}\),
3) \(\displaystyle{ 3^2\equiv -1 od{5}}\), wiec \(\displaystyle{ 3^{4n}\equiv 1\pmod{5}}\),

teraz widac?

Hehe. Widzę, że Tomek już wszystko wytłumaczył. Ja jeszcze dodam, że zad. 2 robiło się zwijając to co pod pierwiastkami w kwadrat różnicy i sumy, przechodziło się na moduł i przypadki, a 1. przechodzi w dwóch linijkach z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczną, ale stwierdziłem, że szanowna komisja mogłaby się nieco zirytować takim podejściem do sprawy (chyba nie uznają metod z OMa ), więc walnąłem hasło LEMAT (tutaj pół strony łopatologicznego dowodu nierówności Cauchy'ego arytm.-geom.) potem podstawienie x, y, z za to co tam jest pod kolejnymi pierwiastkami, nierówność obustronnie do kwadratu i na mocy LEMATU mamy co trzeba

Ladnie idzie tez z Cauchego-Schwarza:

podstawmy sobie \(\displaystyle{ (a,b,c)\equiv (x+y, y+z, z+x)}\).

\(\displaystyle{ 3(x+y+z)=(1^2+1^2+1^2)(\sqrt{x}^2+\sqrt{y}^2+\sqrt{z}^2)\geq (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2}\), co konczy dowod.