Upadek łańcucha

[crimlee]

Łańcuch o masie \(\displaystyle{ m}\) i długości \(\displaystyle{ L}\) wisi tak, że dotyka powierzchni stołu. Znaleźć całkowity pęd przekazany powierzchni stołu po upadku całego łańcucha.

[Maciek.mat]

\(\displaystyle{ h = \frac{1}{2}L}\)


\(\displaystyle{ h = \frac{1}{2} g t ^{2}}\)

\(\displaystyle{ t = \sqrt{ \frac{2h}{g}}}\)

\(\displaystyle{ v = gt = g \sqrt{ \frac{2h}{g}} = \sqrt{2hg}}\)

\(\displaystyle{ p = mv = m \sqrt{2hg} = m \sqrt{2 \frac{1}{2}L g} = m \sqrt{L g}}\)

Pewności nie mam, jak zwykle...

[luka52]

Maciek.mat, to jest pęd jaki zostałby przekazany stołowi przez punktową masę M spadającą z wysokości L/2.

crimlee, podziel łańcuch na części (nieskończenie małe). Rozważając jaki pęd \(\displaystyle{ \mbox d p}\) przekaże masa \(\displaystyle{ \mbox d m}\) łańcucha spadająca z wysokości \(\displaystyle{ x \in [0,L]}\) mamy: \(\displaystyle{ \mbox d p = \sqrt{2gx} \; \mbox d m \; \; (*)}\). Ponieważ prawdziwa jest następująca proporcja: \(\displaystyle{ \mbxod d x / L = \mbox d m / m}\) można z niej wyliczyć \(\displaystyle{ \mbox d m}\), podstawić do (*) i scałkować.

[crimlee]

a gdyby łańcuch był poziomo? (bo właściwie to tak sobie to wyobraziłem na początku )

[Maciek.mat]

No to wygląda na to, że policzyłem pęd dla łańcucha będącego w pozycji poziomej na wysokości \(\displaystyle{ \frac{1}{2} L}\).

[luka52]

Heh, wtedy zadanie jest banalne Bo każdy element \(\displaystyle{ \mbox d m}\) jest na pewnej wysokości \(\displaystyle{ h}\). Pęd \(\displaystyle{ \mbox d p}\), który zostanie przekazany w chwili zetknięcia się ze stołem wyniesie wówczas \(\displaystyle{ \mbox d p = \sqrt{2 g h} \mbox d m}\). Nietródno obliczyć, że całkowity pęd w tym wypadku to \(\displaystyle{ p = m \sqrt{2gh}}\).
Problem jednak pojawia się właściwie na samym początku, bowiem:

wisi tak, że dotyka powierzchni stołu

Czyli: dotyka stołu + jest poziomo = leży na stole => h=0 => p=0

[Maciek.mat]

wisi tak, że dotyka powierzchni stołu

Czyli: dotyka stołu + jest poziomo = leży na stole => h=0 => p=0

Zły wniosek. Po pierwsze, nie może być jakiegoś banału, bo w takim wypadku zadanie nie miałoby racji bytu. Nikomu by nie przyszło do głowy, by je zadać. Po drugie, jak łańcuch wisi, nie może leżeć w poziomie, tylko w pionie, bo tak każde jego ogniwo musiałoby być powieszone na równych nitkach i nie mogłoby dotykać stołu.

[luka52]

...

[crimlee]

ale łańcuch może wisieć poziomo tworząc krzywą łańcuchową i o to mi chodzi. wtedy każda cząstka o masie \(\displaystyle{ dm}\) spada z innej wysokości. I w tym momencie zadanie robi się ciekawe jakieś pomysły ?

[Maciek.mat]

Ohoho, jeszcze nie mamy rozwiązania tego z pionowo ułożonym łańcuchem, a tu już chcesz krzywą łańcuchową. Nie ma bata, żeby to rozwiązać.

[crimlee]

właściwie to mamy przecież rozwiązanie podał luka52

[Maciek.mat]

Mam taki pomysł z tym zadaniem, zastosuję go zamiast całkowania, jakie zapropopował luka52. Dzieląc masę na nieskończenie wiele mas punktowych, będzie można zsumować później ich energię potencjalną i wyliczyć z tego prędkość, a na końcu pęd.

\(\displaystyle{ m_{n} = \frac{m}{n}}\)

\(\displaystyle{ m = m_{n} n}\)

\(\displaystyle{ E _{1} = m _{n} g h _{1}}\)

\(\displaystyle{ E _{2} = m _{n} g h _{2}}\)

\(\displaystyle{ E _{3} = m _{n} g h _{3}}\) i tak dalej...

\(\displaystyle{ E _{p} = E _{1} + E _{2} + E _{3} + ... + E _{n} = m _{n} g h _{1} + m _{n} g h _{2} + m _{n} g h _{3} + ... + m _{n} g h _{n} = m _{n} g s}\)

\(\displaystyle{ s = h _{1} + h _{2} + h _{3} + ... + h _{n}}\)

Całkowitą drogę mas punktowych oznaczonej \(\displaystyle{ s}\) można skrócić, stosując sumę na n kolejnych liczb całkowitych: \(\displaystyle{ d = \frac{n(n + 1)}{2} L}\) Jednak jeśli chcemy dodawać części setne czy tysięczne \(\displaystyle{ L}\), a to jest potrzebne do policzenia całkowitej drogi przez jednakowe nieskończenie małe masy punktowe, wtedy

\(\displaystyle{ s = \frac{d}{n} = \frac{n(n + 1)}{2n} L = \frac{n + 1}{2} L}\)

\(\displaystyle{ E _{p} = m _{n} g \frac{n + 1}{2} L = \frac{m}{n} g \frac{n + 1}{2} L}\)

Wynik jest coraz dokładniejszy dla coraz większych \(\displaystyle{ n}\).
Czy dobra byłaby tu granica funkcji:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} E _{p} = \lim_{n\to\infty} \frac{m}{n} g \frac{n + 1}{2} L = \lim_{n\to\infty} \frac{mgL}{2} \cdot \frac{n + 1}{n} = \frac{mgL}{2}}\)

Energia potencjalna jest równa energii kinetycznej na końcu:

\(\displaystyle{ E _{p} = E _{k}}\)

\(\displaystyle{ \frac{mgL}{2} = \frac{mv ^{2}}{2}}\)

\(\displaystyle{ gL = v^{2}}\)

\(\displaystyle{ v = \sqrt {gL}}\)

\(\displaystyle{ p = mv = m \sqrt {gL}}\)

[crimlee]

wg mnie to jest całkowanie, z tym, że bez znaku całkowania skoro dzielisz na elementarne masy punktowe to to samo co byś wziłął różniczkę \(\displaystyle{ dm}\)

[Maciek.mat]

Ale ja napisałem, że nie całkuję. Pomyślałem o innej metodzie i tu ją masz. Pomyślałem, że pododaję masy punktowe. Gdybym całkował, byłoby szybko, bo bym wyprowadził ostateczne równanie, nie mam jednak takiego pomysłu z użyciem znaku całkowania. A zaglądałeś na swoje zadanie z wagonem i piaskiem?

[luka52]

Maciek.mat, nie wiem po co tyle pisałeś skoro to rozwiązanie niczym się nie różni od tego co zaprezentowałeś na początku...
Dzielisz pręt na małe elementy tylko po to by obliczyć jego energię potencjalną, a potem "stara śpiewka" z pierwszego postu.