Przeksztalcenie sumy
: 17 maja 2009, o 21:29
W matematyce konkretnej na stronie 109 trafilem na takie przeksztalcenie sumy
\(\displaystyle{ \sum_{0 \leq k < a^2}\sum_{1 \leq j \leq \sqrt{k}} 1 = \sum_{1 \leq j < a} \sum_{j^2 \leq k < a^2}1}\)
niestety autor nie opisal jak tego przeksztalcenie dokonal. Czy sa jakies zasady, ktore umozliwiaja
"mechaniczne" dokonanie takiego przeksztalcenie krok po kroku?
Oczywiscie oprocz tego, ze rozwiazanie mozna "zauważyć"
P.S notacja orginalnie zapisana byla za pomoca nawiasow iversona ale nie wiem jak popularna jest ta notacja, wiec
zamienilem na standardowa sume. Jak by ktos chcial miec w orginale to to co jest pod znakami sumy nalezy
przeniesc do nawiasow iversona i sumowac po wszystkich j,k
-- 17 maja 2009, o 22:52 --
Pytanie mozna zadac tez inaczej. Jakich przeksztalcen nalezy dokonac aby uklad nierownosci
\(\displaystyle{ 0 \leq k < a^2}\)
\(\displaystyle{ 1 \leq j \leq \sqrt{k}}\)
byl rownowazny temu
\(\displaystyle{ 1 \leq j < a}\)
\(\displaystyle{ j^2 \leq k < a^2}\)
\(\displaystyle{ \sum_{0 \leq k < a^2}\sum_{1 \leq j \leq \sqrt{k}} 1 = \sum_{1 \leq j < a} \sum_{j^2 \leq k < a^2}1}\)
niestety autor nie opisal jak tego przeksztalcenie dokonal. Czy sa jakies zasady, ktore umozliwiaja
"mechaniczne" dokonanie takiego przeksztalcenie krok po kroku?
Oczywiscie oprocz tego, ze rozwiazanie mozna "zauważyć"
P.S notacja orginalnie zapisana byla za pomoca nawiasow iversona ale nie wiem jak popularna jest ta notacja, wiec
zamienilem na standardowa sume. Jak by ktos chcial miec w orginale to to co jest pod znakami sumy nalezy
przeniesc do nawiasow iversona i sumowac po wszystkich j,k
-- 17 maja 2009, o 22:52 --
Pytanie mozna zadac tez inaczej. Jakich przeksztalcen nalezy dokonac aby uklad nierownosci
\(\displaystyle{ 0 \leq k < a^2}\)
\(\displaystyle{ 1 \leq j \leq \sqrt{k}}\)
byl rownowazny temu
\(\displaystyle{ 1 \leq j < a}\)
\(\displaystyle{ j^2 \leq k < a^2}\)