Matematyka.pl

1. Zmienna losowa X ma gęstość daną wzorem:

\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 2e ^{-ax} dla x > 0 \\ 0 dla x \le 0 \end{cases}}\)

gdzie a to pewna nieznana stała. Znajdź a oraz dystrybuantę zmiennej X.

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} 2e^{-ax} \mbox{d}x =1}\)

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} e^{-ax} \mbox{d}x =\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{a}=\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ a=2}\)


Dystrybuanta:

I. dla \(\displaystyle{ x<0}\)

\(\displaystyle{ F(x)=\int_{-\infty}^x 0 \mbox{d}t=0}\)

II. \(\displaystyle{ dla x \ge 0}\)

\(\displaystyle{ F(x)=\int_{-\infty}^0 0 \mbox{d}t+\int_{0}^x 2e^{-2t} \mbox{d}t= \left|-e^{-2t} \right|_0^x=-e^{-2x}+1}\)