Matematyka.pl

Witam,

Pytanie może banalne, ale jak mam rozwiązac taki układ równań? Trzeba użyc tej metody eliminacji Gaussa (coś mi nie wychodzi), czy da się jakoś inaczej? Prosiłbym o pełne rozwiązanie.

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x + y - z = -1

\\ 2x - 2y - z = -3
\\ 4x - 5y -3z = - 7
\end{cases}}\)
Z góry dzięki za pomoc !

Z pierwszego rownania \(\displaystyle{ z=2x+y+1}\)
podstawiam do drugiego: \(\displaystyle{ 2x-2x-y-1-2y=-3 => y= \frac{2}{3}}\)
nastepnie : do 3 rownania: \(\displaystyle{ 4x- \frac{10}{3}-3(2x+ \frac{2}{3}+1)=-7}\)
\(\displaystyle{ -2x=-7+5+ \frac{10}{3}}\)
\(\displaystyle{ x=- \frac{2}{3}}\)
pozniej np do 1 rownania:
\(\displaystyle{ - \frac{4}{3}+ \frac{2}{3}+z = -1}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{1}{3}}\)
wiec \(\displaystyle{ x= - \frac{2}{3} , y = \frac{2}{3} , z = \frac{1}{3}}\)
Sprawdz lepiej te rownania bo moglem sie rypnac w minusach : )

rozwiązania są dobre... licząc metodą wyznacznikową: \(\displaystyle{ W=6, \ \ W_x=-4, \ \ W_y=4, \ \ W_z=2}\)

pierre pisze:Witam,

Pytanie może banalne, ale jak mam rozwiązac taki układ równań? Trzeba użyc tej metody eliminacji Gaussa (coś mi nie wychodzi), czy da się jakoś inaczej? Prosiłbym o pełne rozwiązanie.

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x + y - z = -1

\\ 2x - 2y - z = -3
\\ 4x - 5y -3z = - 7
\end{cases}}\)
Z góry dzięki za pomoc !

Metoda eliminacji Gaussa

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x + y - z = -1 \\ 2x - 2y - z = -3 \\ 4x - 5y -3z = - 7 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ W_{2}-W_{1}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x + y - z = -1 \\ \qquad - 3y \qquad = -2 \\ 4x - 5y -3z = - 7 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ W_{3}-2W_{1}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x + y - z = -1 \\ \qquad - 3y \qquad = -2 \\ \qquad - 7y -z = - 5 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ 3*W_{2}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x + y - z = -1 \\ \qquad - 3y \qquad = -2 \\ \qquad - 21y -3z = -15 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ W_{3}-7W_{2}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x + y - z = -1 \\ \qquad - 3y \qquad = -2 \\ \qquad \qquad -3z = -1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x = \frac{-3+1-2}{3} \\ y= \frac{2}{3} \\ z = \frac{1}{3} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x = \frac{-4}{3} \\ y= \frac{2}{3} \\ z = \frac{1}{3} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x = \frac{-2}{3} \\ y= \frac{2}{3} \\ z = \frac{1}{3} \end{cases}}\)

Możesz jeszcze spróbować obliczyć ten układ metodą LU

Aby rozłożyć macierz na iloczyn macierzy L i U
najbardziej intuicyjną metodą jest ułożenie układu równań na podstawie
wzoru na mnożenie macierzy. Układ ten bardzo łatwo rozwiązać metodą podstawiania
(szczegóły metoda Doolittle'a)
Na marginesie mogę powiedzieć że ja sam do niej doszedłem
mając tyko wzór na mnożenie macierzy
Przy mnożeniu macierzy przydatny jest tzw schemat Falka