Dana jest funkcja f określona wzorem \(\displaystyle{ f(x)=x^2+x+1}\). Wyznacz wszystkiewielomiany \(\displaystyle{ g}\), dla których zachodzi równość \(\displaystyle{ f(g(x))=4x^2+6x+3}\), dla każdego \(\displaystyle{ x R}\).
[ Dodano: Czw Mar 02, 2006 5:01 pm ]
odpowie ktoś?? pilne!!
wyznacz wielomiany
-
Rogal
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
wyznacz wielomiany
Po prostu wstawiasz:
\(\displaystyle{ f(g(x)) = g^{2} (x) + g(x) + 1}\), a z drugiej strony wiesz, że \(\displaystyle{ f(g(x)) = 4x^{2} + 6x + 3}\)
Więc \(\displaystyle{ g^{2}(x) + g(x) + 1 = 4x^{2} + 6x + 3 \\ g^{2}(x) + g(x) - 2(2x^{2} + 3x + 1) = 0}\)
Rozwiązujesz równanie kwadratowe na g(x), więc podstawmy t = g(x):
\(\displaystyle{ t^{2} + t - 2(2x^{2} + 3x + 1) = 0 \\ \Delta = 1 + 8(2x^{2} + 3x + 1) = 1 + 16x^{2} + 24x + 8 = 16x^{2} + 24x + 9 = (4x + 3)^{2}}\)
Więc pierwiastki są równe:
\(\displaystyle{ t_{1} = \frac{-1 - 4x - 3}{2} = \frac{-4x - 4}{2} = -2x - 2 \\ t_{2} = \frac{-1 + 4x + 3}{2} = \frac{4x+2}{2} = 2x + 1}\)
Więc po powróceniu ze zmiennej t na g(x) dostajesz dwa wielomiany spełniające warunki zadania.
\(\displaystyle{ f(g(x)) = g^{2} (x) + g(x) + 1}\), a z drugiej strony wiesz, że \(\displaystyle{ f(g(x)) = 4x^{2} + 6x + 3}\)
Więc \(\displaystyle{ g^{2}(x) + g(x) + 1 = 4x^{2} + 6x + 3 \\ g^{2}(x) + g(x) - 2(2x^{2} + 3x + 1) = 0}\)
Rozwiązujesz równanie kwadratowe na g(x), więc podstawmy t = g(x):
\(\displaystyle{ t^{2} + t - 2(2x^{2} + 3x + 1) = 0 \\ \Delta = 1 + 8(2x^{2} + 3x + 1) = 1 + 16x^{2} + 24x + 8 = 16x^{2} + 24x + 9 = (4x + 3)^{2}}\)
Więc pierwiastki są równe:
\(\displaystyle{ t_{1} = \frac{-1 - 4x - 3}{2} = \frac{-4x - 4}{2} = -2x - 2 \\ t_{2} = \frac{-1 + 4x + 3}{2} = \frac{4x+2}{2} = 2x + 1}\)
Więc po powróceniu ze zmiennej t na g(x) dostajesz dwa wielomiany spełniające warunki zadania.