wyznacz wielomiany

Od funkcji homograficznych do bardziej skomplikowanych ilorazów wielomianów. Własności. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Łukash
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 16 wrz 2005, o 16:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostr

wyznacz wielomiany

Post autor: Łukash » 2 mar 2006, o 07:48

Dana jest funkcja f określona wzorem \(f(x)=x^2+x+1\). Wyznacz wszystkiewielomiany \(g\), dla których zachodzi równość \(f(g(x))=4x^2+6x+3\), dla każdego \(x R\). [ Dodano: Czw Mar 02, 2006 5:01 pm ] odpowie ktoś?? pilne!!

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5404
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej

wyznacz wielomiany

Post autor: Rogal » 2 mar 2006, o 16:57

Po prostu wstawiasz: \(f(g(x)) = g^{2} (x) + g(x) + 1\), a z drugiej strony wiesz, że \(f(g(x)) = 4x^{2} + 6x + 3\) Więc \(g^{2}(x) + g(x) + 1 = 4x^{2} + 6x + 3 \\ g^{2}(x) + g(x) - 2(2x^{2} + 3x + 1) = 0\) Rozwiązujesz równanie kwadratowe na g(x), więc podstawmy t = g(x): \(t^{2} + t - 2(2x^{2} + 3x + 1) = 0 \\ \Delta = 1 + 8(2x^{2} + 3x + 1) = 1 + 16x^{2} + 24x + 8 = 16x^{2} + 24x + 9 = (4x + 3)^{2}\) Więc pierwiastki są równe: \(t_{1} = \frac{-1 - 4x - 3}{2} = \frac{-4x - 4}{2} = -2x - 2 \\ t_{2} = \frac{-1 + 4x + 3}{2} = \frac{4x+2}{2} = 2x + 1\) Więc po powróceniu ze zmiennej t na g(x) dostajesz dwa wielomiany spełniające warunki zadania.

ODPOWIEDZ