Matematyka.pl

Bardzo proszę o w miarę możliwie szybkie wyjaśnienie mi, dlaczego dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ n \in N}\) liczba postaci \(\displaystyle{ n(n+1)(n+2)}\) jest podzielna przez 6.

Po przekształceniu wyjdzie zdaje się:

\(\displaystyle{ \frac{n ^{3} + 3n ^{2} + 2n}{6}}\)

Jedyne wyjaśnienie jakie przychodzi mi do głowy jest takie, że liczba n i jej potęgi są tutaj po prostu mnożone razy 6 (1+3+2), ale nie wiem, czy to dobre wyjaśnienie...

Nie kręć ... masz trzy kolejne liczby naturalne, prawda? Wobec tego co najmniej jedna jest podzielna przez 2, a jedna jest podzielna przez 3. Wobec tego ich iloczyn również będzie podzielny przez 6.

n. n+1, n+2 , są to trzy kolejne liczby, czyli dokładnie jedna z nich jest podzielna przez 3 i conajmniej jedna jest podzielna przez 2, czyli cała liczba jest podzielna przez iloczyn, czyli 6.

O matko. Ale ze mnie idiota. Nie myślę o tej godzinie.

W takim bądź razie mam jeszcze jedno pytanie

Jak wykazać, że jeśli n jest sumą kwadratów dwóch liczb naturalnych, to 2n ma tą samą własność?

\(\displaystyle{ 2n=2(a^2+b^2)=a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2=(a+b)^2+(a-b)^2}\)

\(\displaystyle{ n=a^2+b^2}\)
\(\displaystyle{ 2n=2a^2+2b^2=(a+b)^2+(a-b)^2}\)

Aha

Mówiąc szczerze nie wiedziałem, że \(\displaystyle{ 2a ^{2} + 2b ^{2} = a ^{2} + 2ab + b ^{2} + a ^{2} - 2ab + b ^{2} ...}\)

Tzn. nie wpadłem na to

\(\displaystyle{ 2(a^2+b^2)=2a^2+2b^2=a^2+b^2+a^2+b^2}\)

Teraz trzeba jakoś skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia, więc przekształcamy to trochę:

\(\displaystyle{ a^2+b^2+a^2+b^2=a^2+b^2+a^2+b^2+2ab-2ab=a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2=(a+b)^2+(a-b)^2}\)

No tak, rozumiem, że po prostu wszystko sprowadziłeś do takiej postaci, by było możliwie udowodnienie tezy...