holomorficzność funkcji, Cauchy
: 12 maja 2009, o 18:13
1. Sprawdzić holomorficzność funkcji zespolonej \(\displaystyle{ f(z) = {z}^{3} + {z}^{2} + 1}\) .
2. Znaleźć wszystkie funkcje holomorficzne \(\displaystyle{ f(x + jy) = u(x, y) + jv(x, y)}\)
takie, że \(\displaystyle{ u(x, y) = 6 {x}^{2} y - 2 {y}^{3} , f(0) = 0}\).
3. Obliczyć całkę:
\(\displaystyle{ \int_{K}^{} {z}^{2} dz}\), gdzie K: \(\displaystyle{ z(t) = t + j t, t \in <0,1>}\).
4. Sprawdzić tw. Cauchy’ego na przykładzie:
\(\displaystyle{ \int_{K}^{} \frac{dz}{z}}\), gdzie K - dodatnio zorientowany brzeg kwadratu o wierzchołkach \(\displaystyle{ {z}_{1} = 2-j, {z}_{2} = 4-j, {z}_{3} = 4+j, {z}_{4} = 2 + j}\).
5. Sprawdzić wzór całkowy Cauchy’ego na przykładzie:
\(\displaystyle{ \int_{K}^{} \frac{dz}{z}}\), gdzie K - dodatnio zorientowany brzeg kwadratu o wierzchołkach \(\displaystyle{ {z}_{1} = 1, {z}_{2} = j, {z}_{3} = -1, {z}_{4} = -j}\).
6. Stosując wzór całkowy Cauchy’ego obliczyć całki:
a) \(\displaystyle{ \int_{K}^{} \frac{ {e}^{jz} dz}{z+1}}\), gdzie \(\displaystyle{ K : |z + j| = 5}\) okrąg zorientowany dodatnio,
b) \(\displaystyle{ \int_{K}^{} \frac{ {e}^{jz} dz}{ {z}^{2} +4}}\), gdzie \(\displaystyle{ K : |z + j| = 2}\) okrąg zorientowany dodatnio.
2. Znaleźć wszystkie funkcje holomorficzne \(\displaystyle{ f(x + jy) = u(x, y) + jv(x, y)}\)
takie, że \(\displaystyle{ u(x, y) = 6 {x}^{2} y - 2 {y}^{3} , f(0) = 0}\).
3. Obliczyć całkę:
\(\displaystyle{ \int_{K}^{} {z}^{2} dz}\), gdzie K: \(\displaystyle{ z(t) = t + j t, t \in <0,1>}\).
4. Sprawdzić tw. Cauchy’ego na przykładzie:
\(\displaystyle{ \int_{K}^{} \frac{dz}{z}}\), gdzie K - dodatnio zorientowany brzeg kwadratu o wierzchołkach \(\displaystyle{ {z}_{1} = 2-j, {z}_{2} = 4-j, {z}_{3} = 4+j, {z}_{4} = 2 + j}\).
5. Sprawdzić wzór całkowy Cauchy’ego na przykładzie:
\(\displaystyle{ \int_{K}^{} \frac{dz}{z}}\), gdzie K - dodatnio zorientowany brzeg kwadratu o wierzchołkach \(\displaystyle{ {z}_{1} = 1, {z}_{2} = j, {z}_{3} = -1, {z}_{4} = -j}\).
6. Stosując wzór całkowy Cauchy’ego obliczyć całki:
a) \(\displaystyle{ \int_{K}^{} \frac{ {e}^{jz} dz}{z+1}}\), gdzie \(\displaystyle{ K : |z + j| = 5}\) okrąg zorientowany dodatnio,
b) \(\displaystyle{ \int_{K}^{} \frac{ {e}^{jz} dz}{ {z}^{2} +4}}\), gdzie \(\displaystyle{ K : |z + j| = 2}\) okrąg zorientowany dodatnio.