[Planimetria] równość w siedmiokącie foremnym

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
kluczyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 441
Rejestracja: 20 paź 2006, o 22:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Małopolska

[Planimetria] równość w siedmiokącie foremnym

Post autor: kluczyk » 11 maja 2009, o 23:30

Dany jest siedmiokąt foremny \(A_{1},A_{2},...,A_{7}\). Pokaż, że: \(\frac{1}{|A_{1}A_{3}|} + \frac{1}{|A_{1}A_{4}|}= \frac{1}{ |A_{1}A_{2}|}\)

Awatar użytkownika
alchemik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 285
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

[Planimetria] równość w siedmiokącie foremnym

Post autor: alchemik » 12 maja 2009, o 02:02

|A1A2|=|A3A4|, W trójkącie A1A3A4 łatwo możemy obliczyć kąty, korzystając z tw. sinusów widzimy, ze nasza równość do udowodnienia wygląda tak: \(\frac{1}{2R \cdot \sin{\frac{2 \pi}{7}}}+\frac{1}{2R \cdot \sin{\frac{4 \pi}{7}}}=\frac{1}{2R \cdot \sin{\frac{ \pi}{7}}} \Rightarrow \\ \sin{\frac{ \pi}{7}}} \sin{\frac{ 4\pi}{7}}} +\sin{\frac{ 2\pi}{7}}} \sin{\frac{ \pi}{7}}} -\sin{\frac{ 2\pi}{7}}} \sin{\frac{ 4\pi}{7}}}=0 \Leftrightarrow \\ (\cos{\frac{ 6\pi}{7}}}-\cos{\frac{ 5\pi}{7}}})-(-\cos{\frac{ \pi}{7}}}+\cos{\frac{ 2\pi}{7}}})=0 \Leftrightarrow \\ -\sin{\frac{ 11\pi}{14}}}\sin{\frac{ \pi}{14}}}+\sin{\frac{ 3\pi}{14}}}\sin{\frac{ \pi}{14}}}=0 \Leftrightarrow \\ 0=0\) Zdaję sobie sprawę że druga część dowodu może nie wygląda zbyt pięknie ale nie potrafiłem ładniej tego udowodnić, korzystałem z podstawowych tożsamości trygonometrycznych.

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2705
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

[Planimetria] równość w siedmiokącie foremnym

Post autor: Sylwek » 12 maja 2009, o 02:18

Po wymnożeniu: \(A_1 A_2 \cdot A_1 A_4 + A_1 A_3 \cdot A_1 A_2 = A_1 A_3 \cdot A_1 A_4\). Pachnie Twierdzeniem Ptolemeusza (w szczególności po finale tegorocznego OM ). Zatem po prawej stronie mamy tak jakby długości pewnych przekątnych. Jeśli \(A_1A_4\) to jedna przekątna, to druga jest długości \(A_1A_3\), np. \(A_2A_4\) (ale to nie będzie druga przekątna czworokąta, itp.). Ładnie pasuje: \(A_3A_5\). Zatem rozpatrzmy czworokąt \(A_1A_3A_4A_5\). Zachodzi w nim Twierdzenie Ptolemeusza (7-kąt foremny, na którym jest opisany okrąg): \(A_1A_4 \cdot A_3 A_5 = A_1 A_3 \cdot A_4 A_5 + A_1A_5 \cdot A_3A_4\) Nietrudno sprawdzić, że zachodzą odpowiednie równości boków/przekątnych i powyższa równość jest równoważna tezie zadania.

ODPOWIEDZ