Matematyka.pl

Uzasadnij, że dla każdego \(\displaystyle{ a \in R}\) i \(\displaystyle{ b \in R}\) z nierówności \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2} \le 2}\) wynika nierówność \(\displaystyle{ \left|a+b \right|\le 2}\).

Wiem że to jakoś trzeba zrobić przez \(\displaystyle{ (a-b)^{2}}\) ale nie potrafie do konca wywnioskowac.

Mamy:

\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2} \le 2 \Leftrightarrow a^{2}-2ab+b^{2} \le 2-2ab \Leftrightarrow (a-b)^{2} \le 2-ab}\)

Ale \(\displaystyle{ (a-b)^{2} \ge 0}\)

Stąd \(\displaystyle{ 2-2ab \ge 0}\)

Dodając tę nierówność stronami do nierówności\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2} \le 2}\)

mamy: \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2} \le 2+2-2ab \Leftrightarrow a^{2}+2ab+b^{2} \le 4 \Leftrightarrow (a+b)^{2} \le 4 \Leftrightarrow \left|a+b \right| \le 2}\)