8 granic funkcji

[nikewoman25]

Mam problem z tymi funkcjami, wyniki w książce są, ale nie mogę dojść jak to wytłumaczyć.

10) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\ -2} \frac{x^3-x-6}{x^3+8}}\)

14) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 1} \frac{2x+5}{x^2-2x+1}}\)

18) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 1} (\frac{1}{1-x} + \frac{3}{x^3-1})}\)

30) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 2} \frac{5- \sqrt{x^2+21}}{x-2}}\)

42) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}( \sqrt{x-2}+ \sqrt{x})}\)

50) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 7} \frac { \sqrt{x-6}-1}{x-7}}\)

54) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\ \frac{\pi}{2} } \frac{cosx}{ \frac{1}{2}\pi -x}}\)

58) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}( \frac{x+1}{x-1})^x}\)

[Chromosom]

Znasz regułę L'Hospitala dla wyrażeń postaci \(\displaystyle{ \frac{\infty}{\infty},\frac{0}{0},1^{\infty}}\)?
przy wyrażeniach z pierwiastkiem skorzystaj z zależności \(\displaystyle{ a-b=\frac{a^2-b^2}{a+b}}\)
gdybyś miała problemy, powiem, co dalej

[miki999]

Znasz regułę L'Hospitala

Tak patrze na kilka pierwszych przykładów i nie widzę symbolów (symboli?) nieoznaczonych.


Pozdrawiam.

[nikewoman25]

Wyrazy wolne nie są zerami w tych pierwszych przykładach więc mnie się wydaje, że d'Hospit'a nie można zastosować

a tutaj np. mogę z d'H? jak zastosowałam to obliczyłam następująco:

ad.54) \(\displaystyle{ = \frac{-sinx}{-1}=sinx=1}\)

[miki999]

Tak, możesz.

Pozdrawiam.

[Chromosom]

Symbole nieoznaczone pojawiają się niżej, w dwóch pierwszych wychodzą wyrażenia postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{0}}\)

[mol_ksiazkowy]

50) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 7} \frac { \sqrt{x-6}-1}{x-7} =\lim_{x\to\ 7} \frac { (\sqrt{x-6}-1)(\sqrt{x-6}+1)}{(x-7)(\sqrt{x-6}+1)}= \lim_{x\to\ 7} \frac {1}{\sqrt{x-6}+1}= \frac{1}{2}}\)

[nikewoman25]

Pomoże ktoś z resztą funkcji bo jakoś nie poszło... :/

[kubek1]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}( \frac{x+1}{x-1})^x=\lim_{x\to\infty}((1+\frac{2}{x-1})^{\frac{x-1}{2}})^{\frac{2x}{x-1}}=\lim_{x\to\infty}((1+\frac{2}{x-1})^{\frac{x-1}{2}})^{\frac{2}{1-\frac{1}{x}}}=e^{2}}\)

[nikewoman25]

Ten w końcu wyszedł
30) \(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 2} \frac{5- \sqrt{x^2+21}}{x-2}}\)
wynik \(\displaystyle{ -\frac{4}{10}}\)

A czy to jest prawdą?! :

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 1} ( \frac{1}{1-x}+ \frac{3}{x^3-1}= \lim_{x\to\ 1} \frac{1}{1-x} + \lim_{x\to\ 1} \frac{3}{x^3-1})}\)

i liczę granice jednostronne
z lewej \(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 1} \frac{1}{1-x} = + \infty}\)
z prawej \(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 1} \frac{1}{1-x} = - \infty}\)
z lewej \(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 1} \frac{3}{x^3-1} = - \infty}\)
z prawej \(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 1} \frac{3}{x^3-1} = + \infty}\)
i w obu przypadkach granice wychodzą rózne jednostronne więc wychodziłoby ze granica nie istnieje?! Czy dobrze myślę?!

[miki999]

30) ok.

Dalej nie rozumiem które granice ze sobą porównujesz, że mówisz, że nie istnieje? Ja sprowadziłem wszystko do wspólnego mianownika i pojechałem 2x de l'Hospitalem- granica mi wyszła.


Pozdrawiam.

[nikewoman25]

30) ok.

Dalej nie rozumiem które granice ze sobą porównujesz, że mówisz, że nie istnieje? Ja sprowadziłem wszystko do wspólnego mianownika i pojechałem 2x de l'Hospitalem- granica mi wyszła.


Pozdrawiam.

Policzyłam granicę lewostronną i prawostronną przy 1, jedna wychodzi \(\displaystyle{ + \infty}\) a druga \(\displaystyle{ - \infty}\) czyli róźne... Podobnie z 3, stąd przypuszczenie, że nie istnieje.

[miki999]

Symboli nieoznaczonych bym nie rozbijał, ponieważ w ten sposób patrząc na całą granice:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 1^{+}} \frac{1}{1-x} = + \infty \\ \lim_{x\to\ 1^{+}} \frac{3}{x^3-1} = - \infty \\ + \infty - \infty =?}\)
Czy to jest różne od:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 1^{-}} \frac{1}{1-x} = - \infty \\ \lim_{x\to\ 1^{-}} \frac{3}{x^3-1} = + \infty \\ - \infty + \infty =?}\)

Wolę nie ryzykować odpowiedzi i wybieram wspólny mianownik


Pozdrawiam.

[nikewoman25]

Zastanawiam się jeszcze nad 10) ? myślałam żeby to rozbić na jakieś nawiasy, ale u góry miałabym (x-2), a na dole (x+2) więc nie bardzo to skrócić i coś z tym zrobić?! :/ Znowu coś przekombinowuje

[miki999]

Może tutaj zastanówmy się nad istnieniem granicy