Matematyka.pl

Zadanie mam treści
Wyznaczyć ekstrema globalne funkcji:
\(\displaystyle{ f(x,y)=x ^{2} y(4-x-y)}\) w trójkącie ABC, gdzie A(0,0), B(6,0), C(0,6).
Obliczyłam z warunku koniecznego że punkty podejrzane o ekstremum to P1(2,1) P2(0,0).
Z warunku wystarczającego otrzymałam wynik,że w P1 ma maksimum lokalne równe 4, dla P2 otrzymuję macierz zerową.
Normalnie jak liczę ekstrema lokalne to robię wtedy tak, że badam jak się funkcja zachowuje w pobliżu punktu badanego, czyli (0,0). I tak mam że dla
1. \(\displaystyle{ x \neq 0; \ \ y>0\ \ \ \ f(x,y)>0}\)
2. \(\displaystyle{ x \neq 0; \ \ y<0\ \ \ \ f(x,y)<0}\)
i z tego widzę że nie ma tak ekstremum [lokalnego]. Jednak tu mam ograniczenie : do tego trójkąta. No i nie lokalnych szukam lecz globalnych. Jak znaleźć ekstrema globalne?

Skoro szukasz ekstremów globalnych to się tym za bardzo nie przejmuj - wystarczy wtedy tylko znaleźć punkty, w których mogą być ekstrema (czyli tylko WK), a potem porównać wartości w tych punktach z wartościami na brzegu obszaru. Poza tym (0,0) leży na brzegu tego obszaru, więc pamiętamy, że f(2,1)=4.

Jeśli rozpatrzymy bok AB, to na tym boku funkcja ma wartość stale równą 0 (bo \(\displaystyle{ 0\leq x\leq 6,\ y=0}\)), podobnie na boku AC (bo \(\displaystyle{ 0\leq y\leq 6,\ x=0}\)).

Parametryzacja boku BC: \(\displaystyle{ y=6-x,\ 0\leq x\leq 6}\), a wtedy funkcja przyjmuje postać
\(\displaystyle{ f=x^2(6-x)(4-x-6+x)=-2x^2(6-x)}\). Ekstrema może mieć w 0 lub 4, wartości w tych punktach to 0 oraz -64. Dodatkowo wartość w pkt x=6 to 0.

Stąd masz wszystko co trzeba.

Pozdrawiam.

PS Żeby było jasne - mowa o funkcjach ciągłych w danych obszarze.