Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} e^{-2x\arcsin x} \sin ^2x dx}\)

\(\displaystyle{ \int_{-2}^{0} \frac{\sqrt[3]{x-5}}{x^2+3x+2} dx}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{\sin x -\sin ^2x}}{\sqrt{\cos -\cos ^2x}} dx}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{dx} {\sqrt{2-\ln x^3}}}\)

\(\displaystyle{ \int_{-2}^{0} \frac{\sqrt[3]{x-5}}{x^2+3x+2} dx}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{\sqrt[3]{x-5}}{x^2+3x+2} dx}\)
Podstawienie:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{x-5}= t \Leftrightarrow x-5 = t^{ 3} \Leftrightarrow x = t^{ 3}+5}\)
\(\displaystyle{ dx= 3t^{2} dt}\)
Wracamy do calki:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{t}{(t^{ 3}+5)^2+3(t^{ 3}+5)+2} 3t^{2} dt}\)
A tutaj juz mamy calke wymierną. A taka calka to tylko rachunki.
Ciekawe czy da sie to jakos sprytniej zrobic;] hmmmmmmmmm

No moznaa by tez rozbic \(\displaystyle{ \frac{1}{x^2+3x+2}}\) na
ulamki proste itd

Do ostatniego próbowałem tak:

\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{\sqrt{2-\ln x^3}}\qquad=\qquad \int\frac{x\ dx}{x\sqrt{2-\ln x^3}}\qquad=\qquad}\)

Teraz biorę podstawienie \(\displaystyle{ 2-\ln x^3=t^2\qquad\Rightarrow\qquad -\frac{3}{x}\ dx=2t\ dt\qquad\Rightarrow\qquad \frac{dx}{x}=-\frac{2}{3}t\ dt}\)

\(\displaystyle{ 2-\ln x^3=t^2\qquad\Rightarrow\qquad \ln x=\frac{1}{3}(2-t^2)\qquad\Rightarrow\qquad x=e^{\frac{1}{3}(2-t^2)}}\)

Czyli:

\(\displaystyle{ \int\frac{dx}{\sqrt{2-\ln x^3}}\qquad=\qquad \int\frac{x\ dx}{x\sqrt{2-\ln x^3}}\qquad=\qquad -\frac{2}{3}\int\frac{e^{\frac{1}{3}(2-t^2)}\cdot t}{t}\ dt\qquad=\qquad -\frac{2}{3}\int e^{\frac{1}{3}(2-t^2)}\ dt}\)

... i tutaj stanąłem Czy to nie jest całka nieelementarna?

To jest całka nieelementarna.

\(\displaystyle{ \int \frac{\sqrt{\sin x -\sin ^2x}}{\sqrt{\cos -\cos ^2x}} dx}\)

Jedziemy:
Podstawienie:
\(\displaystyle{ t= \tg \frac{x}{2} \\
\cos x= \frac{1- t^{2}}{1+ t^{2}} \\
\sin x= \frac{2t}{1+ t^{2} } \\
dx= \frac{2dt}{1+ t^{2}} \\
\int_{}^{} \frac{\sqrt{(\frac{2t}{1+ t^{2} }) -(\frac{2t}{1+ t^{2} })^2}}{\sqrt{(\frac{1- t^{2}}{1+ t^{2}}) -(\frac{1- t^{2}}{1+ t^{2}})^2}} \frac{2dt}{1+ t^{2}}}\)
Po uproszczeniu:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{ \frac{ (t-1)^{2} }{ t- t^{3} } } \frac{2dt}{1+ t^{2}} \\
\int_{}^{} \sqrt{ \frac{ (t-1) }{ t(1+t)} } \frac{2dt}{1+ t^{2}}}\)
No i robimy podstawienie:
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{ (t-1) }{ t(1+t)} } =h}\)
Podnosimy do kwadratu:....i tak dalej powinno wyjsc reki sobie nie dam uciąć

hmm, moze i powinno takze ta pierwsza całka wydaje sie nieelementarna...!?

A moze ta pierwsza jakos przez czesci jechac? No jestem ciekaw jak to zrobic;]

Panowie smakosze, temat stanął...
Przyznam, że sam jestem ciekaw jak sprytnie wyliczyć takie całeczki...

No oczywiście chciałbym poznać ciekawszy sposób na trzecią całkę... Drugą jeszcze da się znieść. A skąd masz te całki molu?

a jakby tam wyznaczyć przed nawias\(\displaystyle{ \sin x}\) i \(\displaystyle{ \cos x}\) byśmy mieli \(\displaystyle{ \tg x}\)
później połowę kąta a później co ?, chyba lepszym pomysłem jest podstawienie uniwersalne

Jeśli chodzi o rozwiązanie oryginalnych zadań, to trzeba chyba pamiętać, że te dwie pierwsze całki są niewłaściwe, a nie nieoznaczone. Wygląda na to, że pierwsza nie ma sensu (?!), bo przecież x jest w argumencie arcusa sinusa. Natomiast jeśli się rozbije drugą na 3 i odpowiednio przekształci, to wystarczy skorzystać z kryterium porównawczego pozbywając się odpowiednio pierwiastka z licznika i wychodzi, że ta całka nie istnieje (wszystkie 3 pola są nieskończone, ale jedno ma znak minus).

Pozdrawiam.

Oczywiscie, choc mnie bardfziej interesuje sama całka (tj nieoznaczona ) jako taka,

A skąd masz te całki?

Z różnych źródeł...
\(\displaystyle{ \int \frac{\cos ^2 (\ln (x))}{x} \ dx \\
\int \ln ^3 x dx \\
\int \frac{x^2(2+3x^2)}{4-x^2} dx}\)

Pierwsza jest smieszna

Druga przez części 3 razy

Trzecia dzielenie wielomianów

W pierwszej można podstawić za logarytm ale przez części też można policzyć

\(\displaystyle{ \int \frac{\cos ^2 (\ln (x))}{x} \ dx\\
=\int\frac{\cos \left( \ln {x}\right) }{x} \cdot \cos \left( \ln {x}\right) \mbox{d}x =\sin \left( \ln {x}\right) \cos \left( \ln {x}\right) +\int\frac{\sin ^2\left( \ln {x}\right) }{x} \mbox{d}x \\
\int \frac{\cos ^2 (\ln (x))}{x} \ dx=\sin \left( \ln {x}\right) \cos \left( \ln {x}\right) +\int\left(\frac{1-\cos ^2 (\ln (x))}{x} \ dx\right) \\
2\int \frac{\cos ^2 (\ln (x))}{x} \ dx=\sin \left( \ln {x}\right) \cos \left( \ln {x}\right) +\ln \left( x\right) \\
\int \frac{\cos ^2 (\ln (x))}{x} \ dx=\frac{1}{2}\left(\sin \left( \ln {x}\right) \cos \left( \ln x\right) +\ln (x)\right) +C}\)