Całki dla smakoszy

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{\ln(x) \ln^2(1-x)}{x} dx}\)

[Janusz Tracz]

Bardziej w ramach ciekawski niż jako rozwiązanie; można uznać to za szczególny przypadek funkcji Nielsen'a Generalized Polylogarithm https://mathworld.wolfram.com/NielsenGeneralizedPolylogarithm.html. Nawet w tak dużej ogólności istnieją reprezentacje (publikacje nie tak łatwo znaleźć) takiej całki

• Kod: Zaznacz cały

  https://link.springer.com/article/10.1007/BF01940890

  K.S. Kölbig, J.A. Mignaco & E. Remiddi, On Nielsen's generalized polylogarithms and their numerical calculation. BIT 10, 38–73 (1970).

• Kod: Zaznacz cały

  https://cds.cern.ch/record/131491/files/cer-000042056.pdf

  K. S. Kölbig, Closed Expressions for Integral \(\displaystyle{ \int t^{-1} \log^{n-1} t \log^p (1 - t) \dd t}\), Math. Comp., 39 (1982), pp. 647-654.

W szczególności

\(\displaystyle{ \int\limits_0^1 \frac{\ln^n x \ln^2 (1+x) }{x}\; dx =2 (-1)^n
\left( \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k} \frac{H_k}{ k^{n+2}} +
\left(1-2^{-n-2} \right) \zeta(n+3) \right)n!. }\)

A co do przypadków szczególnych to zwykle przydają się sztuczki w stylu: symetria względem \(\displaystyle{ 1-x}\), \(\displaystyle{ \frac{\log (1-x)}{1-x}\ =\ -\sum_{n=1}^{\infty}H_{n}x^{n}}\) czy rozwinięcie Taylora funkcji \(\displaystyle{ \ln^n(1+x)}\) (z użyciem liczb Stirling pierwszego rodzaju), \(\displaystyle{ \int^1_0 x^{k-1} \ln^n(x)\,dx = (-1)^n\frac{n!}{k^{n+1}}}\) (2 całka z książki C. I. Vălean'a, którą smakosze całek pewnie znają).