Matematyka.pl

Wykaż z definicji, że funkcja f(x)=\(\displaystyle{ \frac{2x}{x+1}}\) jest rosnąca w przedziale(-1,+ \(\displaystyle{ \infty}\) ).
Założenie \(\displaystyle{ x_{1}}\), \(\displaystyle{ x_{2}}\) \(\displaystyle{ \in (-1,+ \infty)}\)
czyli \(\displaystyle{ x_{1}}\) - \(\displaystyle{ x_{2}}\)<0
Teza:
f( \(\displaystyle{ x_{1}}\) )<f( \(\displaystyle{ x_{2}}\) )
czyli f( \(\displaystyle{ x_{1}}\) ) - f( \(\displaystyle{ x_{2}}\) ) <0

Dowód: f( \(\displaystyle{ x_{1}}\) ) = \(\displaystyle{ \frac{2x_{1}}{x_{1 }+1}}\) i f( \(\displaystyle{ x_{2}}\) ) = \(\displaystyle{ \frac{2x_{2}}{x_{2} +1}}\)

\(\displaystyle{ \frac{2x_{1}}{x_1 +1}}\) - \(\displaystyle{ \frac{2x_{2}}{x_2 +1}}\) = \(\displaystyle{ \frac{2( x_{1} - x_{2} )}{(x_{1} +1)(x_{2} +1)}}\)
\(\displaystyle{ x_{1}}\)-\(\displaystyle{ x_{2}}\)<0 , więc całe wyrażenie jest mniejsze od 0,
f( \(\displaystyle{ x_{1}}\) ) - f( \(\displaystyle{ x_{2}}\) ) <0
Funkcja jest wiec rosnąca

Proszę o dokładne sprawdzenie założeń

\(\displaystyle{ \frac{2x}{x+1}= \frac{2x+2-2}{x+1}=- \frac{2}{x+1}+2}\)

odrzucamy wyraz staly i otrzymujemy

\(\displaystyle{ - \frac{2}{x+1}}\) jest rosnące dla kazdego \(\displaystyle{ x\in (-1,+\infty)}\)

hmm to wystarczy tyle? myślałam, że jak z definicji to tym moim sposobem:-)