Matematyka.pl

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b,c funkcja:
f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c) + (x-c)(x-a)
ma co najmniej jedno miejsce zerowe
myślałam,zeby wszystko wymnozyc i uporządkowac co jest przy \(\displaystyle{ x^{2}}\), a co przy x i co wyrazem wolnym, a pozniej delte jako większa lub równa zero, ale dziwnie wychodzi. macie jakieś pomysły?:>

Dobrze myślałaś, a możesz powiedzieć, do czego doszłaś?

Wystarczy przyjąć:
\(\displaystyle{ x=c}\)
Otrzymamy:
\(\displaystyle{ f(x)=(x-a)(x-b)}\)
a,b są miejscami zerowymi.

\(\displaystyle{ a^{2}}\) + \(\displaystyle{ b^{2}}\) + \(\displaystyle{ c^{2}}\) -ab -ac -bc geqslant 0
ale nie wiem czy się nie pomyliłam, bo dużo liczenia-- 8 maja 2009, o 21:13 --geqslant zamiast tego większe lub równe

Jeśli chcesz koniecznie się mećżyć z deltą to pomnóż przez 2 i Ci się zwinie:
\(\displaystyle{ (a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2} \ge 0}\)
Kwadraty będą zawsze większe równe zero.