Matematyka.pl

Wykaż, na mocy definicji, że funkcja homograficzna opisana równaniem:

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{x+b}{cx+d}}\),

której wykres przedstawiony jest na rysunku:



jest rosnąca w przedziale \(\displaystyle{ (-2, \infty)}\)

Funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \frac{ax+b}{cx+d}}\) dla \(\displaystyle{ c \neq 0}\) i \(\displaystyle{ ad - bc > 0}\) jest rosnąca w swojej dziedzinie, dla \(\displaystyle{ c \neq 0}\) i \(\displaystyle{ ad - bc < 0}\) jest malejąca w swojej dziedzinie.

Ale to chyba nadal nic nam nie mówi, bo c i d są niewiadome.

\(\displaystyle{ -2c+d=0}\)

Skąd "-2c+d=0" ?

Zauważ, że dla -2 masz asymptotę pionową, więc dany argument nie może należeć do dziedziny funkcji. Skoro tak to w naszym przykładzie zerował by się mianownik.

Z wykresu wynika, że funkcja ma asymptoty
\(\displaystyle{ y=1}\), czyli \(\displaystyle{ y=\frac{1}{c}=1}\)
i
\(\displaystyle{ x=-2}\), czyli \(\displaystyle{ x=-\frac{d}{c}=-2}\)

Miejscem zerowym jest \(\displaystyle{ (1,0)}\), więc \(\displaystyle{ 1=-\frac{b}{1}}\).

Stąd \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x-1}{x+2}}\)

No ale na rysunku nie jest zaznaczone, że asymptota pionowa jest dla -2. Może być na przykład dla -2,01. Albo jest za mało danych, albo ja czepiam się szczegółów

EDIT:Gotta, jak z tego wykresu to wynika? Ja tego nie widzę jakoś.

Mikolaj9 pisze:No ale na rysunku nie jest zaznaczone, że asymptota pionowa jest dla -2. Może być na przykład dla -2,01. Albo jest za mało danych, albo ja czepiam się szczegółów

EDIT:Gotta, jak z tego wykresu to wynika? Ja tego nie widzę jakoś.

Trochę się czepiasz.
Skoro masz wykazać, że tak jest to autor zadania nie będzie Cię wpuszczał w maliny. Więc o ile z wykresu nie wynika jednoznacznie, iż jest inaczej to zakładamy, że jest dla równej wartości.
Jeżeli nie widzisz to narysuj sobie prostą

\(\displaystyle{ y=1}\)

i zobaczysz, że wykres w \(\displaystyle{ +\infty}\) i \(\displaystyle{ -\infty}\) zbiega do tej wartości.

Ja wczoraj rozwiązałam to zadanie. Mam nadzieję, że to wyjaśni wszelkie wątpliwości.
Na początku należy zauważyć z rysunku i treści zadania, że wykres funkcji podstawowej, przyjmijmy,że jest nią \(\displaystyle{ \frac{a}{x}}\)został przesunięty o wektor [-2,1] oraz że miejscem zerowym funkcji jest punkt (1,0).
Dziedzina funkcji to R {-2}. Z definicji funkcji homograficznej mamy też \(\displaystyle{ d \neq bc}\) . Teraz możemy licznik funkcji podzielić przez jej mianownik. Po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy
\(\displaystyle{ f \left(x \right) = \frac{1}{c} + \frac{(bc-d) c ^{2} }{x+ \frac{d}{c} }}\)
Ponieważ nasz wykres jest przesunięty o wektor [-2,1] zatem z definicji funkcji homograficznej mamy, że \(\displaystyle{ \frac{1}{c}=1 , \frac{d}{c}=2}\). Czyli c=1 i d=2. Podstawiamy to do wzoru funkcji i otrzymujemy \(\displaystyle{ f\left(x \right)=1+ \frac{b-2}{x+2}}\). Miejscem zerowym funkcji jest punkt (1,0). Podstawiamy jego współrzędne do wzoru i otrzymujemy b=(-1). Zatem mamy już cały wzór funkcji
\(\displaystyle{ f \left(x \right)=1+ \frac{-3}{x+2}}\). A teraz żeby wszystko było jasne skorzystałam z definicji funkcji rosnącej tzn. dla każdego \(\displaystyle{ x _{1},x _{2} \in D _{f}=(-2, \infty ) , x _{1}>x _{2} \Leftrightarrow f \left(x _{1} \right) >f \left( x _{2} \right)}\), co jest oczywiście równoważne z
\(\displaystyle{ f \left( x _{1} \right) - f \left( x _{2} \right)>0}\)
Lewa strona nierówności jest równa \(\displaystyle{ 1+ \frac{-3}{x _{1}+2 } -(1+ \frac{-3}{x _{2}+2})}\) co daje po przekształceniach \(\displaystyle{ \frac{3(x _{1}-x _{2})}{(x _{1}+2)(x _{2}+2)}}\)
Teraz mamy pokazać, ze to co nam wyszło jest większe od 0. Licznik jest większy od zera, co wynika z założenia,że \(\displaystyle{ x _{1}>x _{2}, czyli x _{1}-x _{2}>0}\).Z kolei oba czynniki zawarte w mianowniku muszą być >0, ponieważ oba X-y należą do dziedziny funkcji podanej w treści zadania, co kończy dowód -- 9 maja 2009, o 17:54 --A co do tego, czy asymptota jest faktycznie w -2 to chyba podano to w treści zadania, nie wzięli przecież tego przedziału z księżyca;p