Matematyka.pl

Wykaż, ze liczba 1998 nie jest różnicą kwadratów dwóch liczb naturalnych.

Zbyt nie wiem jak to zacząć.

\(\displaystyle{ a,b \in N; k,m \in C}\)

\(\displaystyle{ 1998=a ^{2}-b ^{2}}\)

\(\displaystyle{ 1998+b ^{2}=a ^{2}}\)

\(\displaystyle{ 1998=4k+2}\)

\(\displaystyle{ b ^{2}=4m \vee b ^{2}=4m+1}\)

\(\displaystyle{ a^{2}=4k+2+4m \vee a ^{2}= 4k+2+4m+1}\)

\(\displaystyle{ a ^{2}=4(k+m)+2 \vee a ^{2}=4(k+m)+3}\)

Co jest sprzeczne.

A mógłbyś tak bardziej wyjaśnić?
Bo podstawiłeś jakieś 4k+2 a ja nie mam pojęcia skąd.

JarTSW pisze:A mógłbyś tak bardziej wyjaśnić?
Bo podstawiłeś jakieś 4k+2 a ja nie mam pojęcia skąd.

Jeśli podzielisz \(\displaystyle{ 1998}\) przez \(\displaystyle{ 4}\) to otrzymasz \(\displaystyle{ 499}\) i reszty \(\displaystyle{ 2}\). Stąd \(\displaystyle{ 1998=4k+2}\) czyli \(\displaystyle{ 4 \cdot 499+2\cdot}\)

A sprzeczność wynika stąd że kwadrat liczby naturalnej może być postaci tylko \(\displaystyle{ 4m \vee 4m+1}\)

A jak można udowodnić to, że...

mcbob pisze:...kwadrat liczby naturalnej może być postaci tylko \(\displaystyle{ 4m \vee 4m+1}\)

Sprawdź wszystkie możliwe układy
\(\displaystyle{ n=4k \quad \Rightarrow \quad n^2=\ldots}\)
\(\displaystyle{ n=4k+1 \quad \Rightarrow \quad n^2=\ldots}\)
\(\displaystyle{ n=4k+2 \quad \Rightarrow \quad n^2=\ldots}\)
\(\displaystyle{ n=4k+3 \quad \Rightarrow \quad n^2=\ldots}\)

Z tym \(\displaystyle{ n^2=\ldots}\) chodzi o to, żebyś wyznaczył resztę z dzielenia liczby \(\displaystyle{ n^2}\) przez \(\displaystyle{ 4}\)

Bierut pisze:A jak można udowodnić to, że...

Aby udowodnić że \(\displaystyle{ n ^{2}}\) jest postaci \(\displaystyle{ 4m \vee 4m+1}\) wstawiamy sobie za \(\displaystyle{ n}\) po kolei \(\displaystyle{ 4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3}\) i podnosimy do kwadratu. Widać teraz?

\(\displaystyle{ (2k)^2=4k^2=4m}\)
\(\displaystyle{ (2k+1)^2=4k^2+4k+1=4(k^2+k)+1=4n+1}\)

\(\displaystyle{ 1998\equiv2(mod\ 4)}\)

A więc, kwadrat liczby naturalnej może mieć resztę 1 lub 0 w modulo 4. Rozważmy 4 przypadki, kiedy reszta liczby naturalnej jest równa albo 0, 1, 2 lub 3 w dzieleniu przez 4:

\(\displaystyle{ a\equiv0(mod\ 4)\qquad\Rightarrow\qquad a^2\equiv0(mod\ 4)\\ a\equiv1(mod\ 4)\qquad\Rightarrow\qquad a^2\equiv1(mod\ 4)\\a\equiv2(mod\ 4)\qquad\Rightarrow\qquad a^2\equiv4\equiv0(mod\ 4)\\a\equiv3(mod\ 4)\qquad\Rightarrow\qquad a^2\equiv9\equiv1(mod\ 4)}\)

, a więc:

\(\displaystyle{ a^2-b^2\equiv0-0\qquad\vee\qquad 0-1\qquad\vee\qquad 1-0\qquad\vee\qquad 1-1(mod\ 4)\qquad\Rightarrow\qquad}\)

\(\displaystyle{ \qquad\Rightarrow\qquad a^2-b^2\equiv 0\qquad\vee\qquad -1\qquad\vee\qquad 1\qquad\not\equiv 2(mod\ 4)}\)

Koniec dowodu