Matematyka.pl

a) \(\displaystyle{ \begin{cases} x-y+z=0 \\ x+3y-3z=2 \\ x-5y+5z=k \end{cases}}\)

b) \(\displaystyle{ \begin{cases} kx+y+2z=1 \\ x+ky+3z=1 \\ x+y+4z=k \end{cases}}\)

Wyznaczyć rozwiązania?!

a)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&-1&1 \left|0\right. \\1&3&-3 \left|2\right. \\1&-5&5 \left|k\right. \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ W_{2}-W_{1}, W_{3}-W_{1} = \begin{bmatrix}1&-1&1\left|\right. 0\\0&4&-4\left|\right. 2\\0&-4&4\left|k\right.\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ W_{3}+W_{2} = \begin{bmatrix}1&-1&1\left|0\right.\\0&4&-4\left|2\right.\\0&0&0\left|\right. k+2\end{bmatrix}}\)

wiersz 3 w macierzy głównej wyzerował sie tak wiec aby układ nie był sprzeczny wiersz 3 w macierzy rozszerzonej również musi sie wyzerować

\(\displaystyle{ k+2=0}\)
\(\displaystyle{ k=-2}\)

układ jest niesprzeczny dla k=-2


b)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}k&1&2\left|1\right.\\1&k&3\left|\right. 1\\1&1&4\left|\right. k\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ zamiana \ W_{1} \ z \ W_{3} = \begin{bmatrix}1&1&4\left|\right. k\\1&k&3\left|\right. 1\\k&1&2\left|\right. 1\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ W_{2}-W_{1}, W_{3}-k \cdot W_{1} = \begin{bmatrix}1&1&4\left|\right. k\\0&-(1-k)&-1\left|\right. 1-k\\0&1-k&2-4k\left|\right. 1-k^2\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ w_{3}+W_{2} = \begin{bmatrix}1&1&4\left|\right. k\\0&-(1-k)&-1\left|\right. 1-k\\0&0&1-4k\left|\right. 2-k-k^2\end{bmatrix}}\)


\(\displaystyle{ 1-4k=0 \vee 2-k-k^2=0}\)
\(\displaystyle{ k= \frac{1}{4} \vee k=-2 \vee k=1}\)

jest niesprzeczny dla \(\displaystyle{ k=\frac{1}{4} \ i \ k=-2 \ i \ k=1}\)

lub

\(\displaystyle{ 1-4k \neq 0 \vee 2-k-k^2 \neq 0}\)
\(\displaystyle{ k \neq \frac{1}{4} \vee k \neq -2 \vee k \neq 1}\)

jest niesprzeczny dla \(\displaystyle{ k \in (- \infty , -2) \cup (-2, \frac{1}{4}) \cup ( \frac{1}{4}, 1) \cup (1, + \infty )}\)