Matematyka.pl

1. Oblicz pole powierzchni bryły ograniczonej powierzchniami \(\displaystyle{ x^2+y^2=\frac{1}{3}z^2}\), \(\displaystyle{ x+z+y=2}\)

2. Znalezc pole powierzchni kuli \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=25}\), która jest zawarta wewnątrz walca \(\displaystyle{ \frac{1}{25}x^2+\frac{1}{9}y^2=1}\).

Proszę o sprawdzenie poprawności rozumowania. Będę wdzięczny także za podanie innego sposobu obliczenia.

2.
Pierwszy rysunek przedstawia kulę zawartą wewnątrz walca. Drugi rysunek przedstawia takie 'zrzutowanie' kuli i walca na płaszczyznę OXY.

Wnętrze elipsy wraz z brzegiem jest rzutem tej powierzchni kuli, która jest zawarta wewnątrz walca.
Obszar ten można opisać (korzystając z równania walca):
\(\displaystyle{ D: \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} \le 1}\)

Szukane pole S obliczymy ze wzoru:
\(\displaystyle{ S = \iint\limits_D \sqrt{1+\left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2} dxdy}\),
gdzie \(\displaystyle{ z}\) otrzymujemy z równania kuli
\(\displaystyle{ z=\sqrt{25-x^2-y^2}}\)
Uwaga: Ze względu na symetrię wystarczy, że policzymy powierzchnię dla \(\displaystyle{ z \ge 0}\) a następnie podwoimy otrzymany wynik.

Do policzenia mamy całkę:
\(\displaystyle{ \iint\limits_D \frac{5}{\sqrt{25-x^2-y^2}}dxdy}\)
Wprowadzam uogólnione współrzędne biegunowe:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=5r\cos \varphi \\ y=3r\sin \varphi \\ |J|=15r \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ D: \begin{cases} r \in [0,1] \\ \varphi \in [0,2\pi] \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \int_0^{2\pi} \int_0^1 \frac{75r}{\sqrt{25-(5r\cos\varphi)^2-(3r\sin\varphi)^2}}drd\varphi = 25\left(\pi - 2\arctan \frac{7}{24}\right)}\)
wynik z programu Mathematica

Coś chyba źle z pochodnymi cząstkowymi