Matematyka.pl

Na zajęcia SKS-u przyszedl Karol, Tomek i sześciu innych chłopców. Prowadzący zajęcia nauczyciel zdecydował, że na tych zajęciach czterech chłopców będzie ćwiczyć na siłowni, dwóch będzie grać w tenisa a pozostałych dwóch w badmintona. W związku z tym w sposób losowy dokonał podziału grupy chłopców na trzy grupy: 4-osobową i dwie 2-osobowe.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia

B- na tych zajęciach Karol ćwiczył w tej samej grupie co Tomek

Robiłem to w ten sposób ale wyszedł zły wynik

Karol i Tomek moga znaleźć się w grupie 4-osobowej na siłowni, czyli do nich dobieramy dwóch chłopców z pozostałych sześciu, z pozostałych czterech tworzymy grupkę do tenisa i grupka do badmintona tworzy się automatycznie z pozostałych

\(\displaystyle{ \[\left( \begin{array}{l}
6 \\
2 \\
\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{l}
4 \\
2 \\
\end{array} \right)\]}\)

I pozostały dwa przypadki w których prawdopodobieństwo jest takie samo, czyli Tomek i Karol znajdą się w grupce dwuosobowej (od razu uwzględniam oba przypadki dodając)

\(\displaystyle{ \[\left( \begin{array}{l}
6 \\
4 \\
\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{l}
4 \\
2 \\
\end{array} \right) + \left( \begin{array}{l}
6 \\
4 \\
\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{l}
4 \\
2 \\
\end{array} \right)\]}\)

\(\displaystyle{ \[|\Omega | = \left( \begin{array}{l}
8 \\
4 \\
\end{array} \right)\left( \begin{array}{l}
4 \\
2 \\
\end{array} \right)\]}\)

czyli prawdopodobieństwo:

\(\displaystyle{ \[P(B) = \frac{{\left( \begin{array}{l}
6 \\
2 \\
\end{array} \right)\left( \begin{array}{l}
4 \\
2 \\
\end{array} \right) + \left( \begin{array}{l}
6 \\
4 \\
\end{array} \right)\left( \begin{array}{l}
4 \\
2 \\
\end{array} \right) + \left( \begin{array}{l}
6 \\
4 \\
\end{array} \right)\left( \begin{array}{l}
4 \\
2 \\
\end{array} \right)}}{{\left( \begin{array}{l}
8 \\
4 \\
\end{array} \right)\left( \begin{array}{l}
4 \\
2 \\
\end{array} \right)}} = \frac{1}{{42}}\]}\)

Pozdrawiam

Spójrz jak zapisałeś omegę w końcowym wzorze.

OK, to byo przez to, że źle przepisałem na forum. Juz poprawione

\(\displaystyle{ \frac{ {6 \choose 2} {4 \choose 2} + {6 \choose 4} {4 \choose 2} + {6 \choose 4} {4 \choose 2} }{ {8 \choose 4} {4 \choose 2} }= \frac{3 \frac{6!}{4!2!} {4 \choose 2} }{ \frac{8!}{4!4!} {4 \choose 2} }=3 \frac{6!}{4!2!} \frac{4!4!}{8!}=3 \frac{6! \cdot 3 \cdot 4}{8!}= \frac{3 \cdot 3 \cdot 4}{7 \cdot 8}= \frac{9}{14}}\)

Czy taki wynik jest w książce?

Nie, wynik to \(\displaystyle{ \frac{2}{7}}\)

Mi twój tok rozumowania wydaje się poprawny.

Tomku, mi wychodzi tak jak tobie.. nie mam pojęcia jakby to można zrobić inaczej.

6hokage, gdy robisz kombinację 4 elementów z 6 to już zostają ci tylko 2, a ty potem robisz kombinację z 4.

No można by inaczej jeszcze myśleć (może i nawet bardziej poprawnie by było) , ze jeśli Karol i Tomek mają byc w jednej grupie, to:

Przypadek 1 - ćwiczą na siłowni
\(\displaystyle{ \[\left( \begin{array}{l}
6 \\
2 \\
\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{l}
4 \\
2 \\
\end{array} \right)\]}\)

czyli bez zmian

Przypadek 2 - graja w tenisa lub badmintona:
\(\displaystyle{ \left( \begin{array}{l}
6 \\
4 \\
\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{l}
2 \\
2 \\
\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{l}
2 \\
2 \\
\end{array} \right) + \left( \begin{array}{l}
6 \\
4 \\
\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{l}
2 \\
2 \\
\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{l}
2 \\
2 \\
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{l}
6 \\
4 \\
\end{array} \right) \cdot 1 \cdot 1 + \left( \begin{array}{l}
6 \\
4 \\
\end{array} \right) \cdot 1 \cdot 1 = 2 \cdot \left( \begin{array}{l}
6 \\
4 \\
\end{array} \right)}\)

Najpierw wybieramy grupę czteroosobową a pozostałe dwie tworzą się automatycznie, bo Tomek i Karol są w jednej więc pozostają jeszcze dwaj). Wszystko mnożymy x2 bo mogą być dwa takie przypadki.

Omega bez zmian, więc ostatecznie

\(\displaystyle{ P(B) = \frac{{\left( \begin{array}{l}
6 \\
2 \\
\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{l}
4 \\
2 \\
\end{array} \right) + 2 \cdot \left( \begin{array}{l}
6 \\
4 \\
\end{array} \right)}}{{\left( \begin{array}{l}
8 \\
4 \\
\end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{l}
4 \\
2 \\
\end{array} \right)}}}\)

Przeliczyłem to raz i wyszlo mi \(\displaystyle{ P(B) = \frac{3}{{14}}}\)
więc już jakby bliżej. Mogłem się pomylić w rachunkach, później jeszcze raz sprawdze

Pozdrawiam

no faktycznie, robiłam tak na początku ale źle policzyłam omegę i mi nie wychodziło... teraz jest dobrze wynik będzie 2/7.

Sory że odkupuję ale jedyne rozwiązanie w internecie jakie znalazłem i nie rozwiązane. Nie wychodziło bo przypadek gdy są w tej samej grupie dwuosobowej jest źle policzony.
Jest:
\(\displaystyle{ {6 \choose 4} {4 \choose 2}}\)
A powinno być z oczywistych względów:
\(\displaystyle{ {6 \choose 2} {2 \choose 2}= {6 \choose 2}}\)

Dlaczego
\(\displaystyle{ {6 \choose 2} {2 \choose 2}}\)

no mi wynik wyszedł poprawny, robiłem sam, za chwile objaśnię, ale najpierw
\(\displaystyle{ \left| \Omega\right| = {8 \choose 4} \cdot {4 \choose 2} \cdot {2 \choose 2} = 420}\)
\(\displaystyle{ \left| B\right| = 2 \cdot {6 \choose 4} \cdot {2 \choose 2} + {6 \choose 2} \cdot {4 \choose 2} \cdot {2 \choose 2} = 120}\)
\(\displaystyle{ P\left( B\right) = \frac{2}{7}}\)
Karol i Tomek mogą być w jednej grupie na trzy sposoby. Jeśli będą na siłowni, to trzeba mi wylosować dwóch innych kompanów no i z pozostałych czterech wylosować po dwóch to innych grup. Są dwie inne możliwości w których tylko oni są razem w grupie, czyli dwa razy trzeba z sześciu pozostałych wylosować czwórkę do siłowni, i do pozostałej grupy.