Matematyka.pl

Przez początek układu współrzędnych \(\displaystyle{ O}\) poprowadzono styczne do okręgu \(\displaystyle{ x^2+y^2-10x+20=0}\)

a) oblicz pole TRojkata OAB, gdzie \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) oznaczaja punkty stycznosci
b) napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie

Możecie mi to trochę wytłumaczyć? bo w ogóle nie wiem czy dobrze zwinąłem to równanie okręgu? bo wyszło mi ze środek ma współrzędne \(\displaystyle{ S=(5,0)}\) a promień jest ujemny..(jest coś takiego ze trzeba wyciągnąć wartość bezwzględną?) W ogóle mam problem z równaniami okręgu w których y bądź nie mogę w nic zwinąć (jest tylko \(\displaystyle{ y^2}\) lub \(\displaystyle{ x^2}\))

Pozdrawiam

Wzór okręgu zapisać można inaczej: \(\displaystyle{ (x-5)^2+y^2=(\sqrt5)^2}\), więc jest to okrąg o środku w punkcie \(\displaystyle{ S=(5,0),\; r=\sqrt5}\), wiemy, że prosta styczna do okręgu ma wzór \(\displaystyle{ y=ax}\), tj, że do prostej należą punkty \(\displaystyle{ (x,ax)}\),
wstawiając to do równania okręgu mamy:
\(\displaystyle{ x^2+(ax)^2-10x+20=0\Leftrightarrow (a^2+1)x^2-10x+20=0}\), ale okrąg ma mieć dokładnie jeden punkt wspólny z prostą, więc \(\displaystyle{ 0=\Delta = 100-80(a^2+1)}\), co daje rozwiązania: \(\displaystyle{ a=\frac{1}{2}\vee a=-\frac{1}{2}}\)
Teraz łatwo, obliczyć, że punktami styczności są \(\displaystyle{ A=(4,2),\;B=(-4,-2,)}\)
Teraz pole chyba nie jest problemem.

Zajmijmy się okręgiem opisanym, trójkąt jest równoramienny, symetryczny wedługo osi OX, więc
druga współrzędna okręgu wynosi 0, można zapisać \(\displaystyle{ (x-m)^2+y^2=r^2}\), wiemy, że wierzchołki \(\displaystyle{ \triangle AOB}\) należą do okręgu, więc:
\(\displaystyle{ O=(0,0):\quad m^2=r^2}\) w naszym wypadku m>0, i r>0 więc r=m.
\(\displaystyle{ A=(4,2):\quad m^2-8m+20=r^2}\), co daje:
\(\displaystyle{ m^2-8m+20=m^2\Leftrightarrow m=\frac{5}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ m=\frac{5}{2}}\)
Równanie okręgu opisanego na \(\displaystyle{ \triangle ABO}\): \(\displaystyle{ (x-\frac{5}{2})^2+y^2=(\frac{5}{2})^2}\), co kończy zadanie.

Właśnie robię to zadanie i rozumiem większość co zostało napisane, ale mam małe pytanko odnośnie tego:

amdrozd pisze: \(\displaystyle{ x^2+(ax)^2-10x+20=0\Leftrightarrow (a^2+1)x^2-10x+20=0}\), ale okrąg ma mieć dokładnie jeden punkt wspólny z prostą, więc \(\displaystyle{ 0=\Delta = 100-80(a^2+1)}\), co daje rozwiązania: \(\displaystyle{ a=\frac{1}{2}\vee a=-\frac{1}{2}}\)

Gdybym wziął \(\displaystyle{ \Delta > 0}\) to rozumiem, że znalazłbym zbiór takich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) dla których te proste mają dwa punkty wspólne z okręgiem tak?

Dlaczego nie \(\displaystyle{ \Delta > 0}\)? Skoro mamy dwie proste, które przetną się w dwóch punktach czyli będą dwa rozwiązania?