Matematyka.pl

Rozpoczyna się wielki bój o Finał. Życząc wszystkim powodzenia, zapraszam do komentowania przebiegu zawodów i treści (rozwiązań, jak znacie ) zadań.

Nastawialem sie na dosc latwe zadanie z geometrii. Sie przejeeeechalem. Ale przynajmniej zrobilem 3cie, i troche "szemranie" 1sze (watpie zebym dostal jakies pkty, licze na max. 2). Kurcze, ale drugie zadanie... hardcore.

Kurewsko zle licze na 12-14 pkt :/ be zgeometrii ktora liczylem 4,5 h i braklo czasu

Hmm, generalnie chyba z poltorej godziny siedzialem nad 1 i mnie straszna cholera brala bo widzialem prostote zadania i wiedzialem, ze pewnie w domciu bym to zrobil bez brania dlugopisu do reki : /. Jak juz czulem ze mnie szlag trafi to stwierdzilem, ze popatrze sobie na nierownosc, ktorych generalnie jestem milosnikiem i to wlasnie mnie chyba uratowalo bo nierownosc poszla tak po dwoch minutach. Wtedy rzecz jasna lepsze od razu morale sie zrobily no i pierwsze tez w koncu myknalem. Zostaly mi 2,5 godziny na geometrie, ale nie zrobilem. No wiec podsumowujac: 2. Generalnie, mam rozwiazania takie jak wiele osob czyli raczej nie powinno byc bledow, moze w pierwszym punkt na czyms strace, ale nie mam pojecia na czym... Wiec nie jest najgorzej. 4 osoby z okregu mialy 3 zadania.

Wrzućcie zadania

1. Liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ a,\,b,\,c,\,x,\,y,\,z}\) spełniają równości
\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=c^{2},\;x^{2}+y^{2}=z^{2}}\)
oraz nierówności
\(\displaystyle{ |x-a|\leq1,\;|y-b|\leq1}\)
Wykazać, że zbiory \(\displaystyle{ \{a,b\}}\) oraz \(\displaystyle{ \{x,y\}}\) są równe.

2. Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), w którym \(\displaystyle{ AC+BC=3AB}\). Okrąg o środku \(\displaystyle{ I}\) wpisany w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest styczny do boków \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ CA}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\). Niech \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\) będą punktami symetrycznymi odpowiednio do punktów \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\) względem punktu \(\displaystyle{ I}\). Udowodnić, że punkty \(\displaystyle{ A,\,B,\,K,\,L}\) leżą na jednym okręgu.

3. Liczby dodatnie \(\displaystyle{ a,\,b,\,c}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ ab+bc+ac=abc}\). Dowieść, że
\(\displaystyle{ \large\frac{a^{4}+b^{4}}{ab(a^{3}+b^{3})}+\frac{b^{4}+c^{4}}{bc(b^{3}+c^{3})}+\frac{c^{4}+a^{4}}{ca(c^{3}+a^{3})}\geq1}\)

Ech. Coś czuję, że dałem dupy (sorry za wyrażenie, ale trzeba niektóre rzeczy nazywać po imieniu) Nie zrobiłem nierówności, a była banalna (2 h się nad nią męczyłem, nawet już byłem tak zdesperowany, że otworzyłem nawiasy i wymnożyłem wszystko, ale i tak nie wiele mi to dało - oddałem czystą kartkę + brudnopis zapisany pierdołami). Pierwsze strasznie naściemniałem i końcówkę już machnąłem bez przekonania, więc liczę przy dużym szczęściu na 2 pkt. O dziwo geometrię strzeliłem w 20 minut, ale moje uchachanie nie trwało długo, bo przy przepisywaniu dostrzegłem lukę - 5 przy pomyślnych wiatrach, 2 przy upierdliwym sprawdzającym (obstawiam niestety to drugie ). W sumie pesymiestycznie zakładając za wszystko łącznie dostanę 0, realistycznie coś ze zbioru {2, 4, 5}, a bardzo optymistycznie nawet 7 by się skubnęło

Thx Dexiu, wklejalem z archiwum gg i nie mialem czasu poprawic Co do dzisiejszych zadan: 4 i 6 - fajny zart... 5 zrobilem nawet.

wrzućcie

4 trywilane proste tez 5 bo zrobilem geometrycznie 6 te to uoglnienie 4 z 1 etaopu

Wczoraj poszło nienajgorzej, co prawda nie zrobiłem geometrycznego, ale reszta poszła. Dziś niestety porażka. Niepotrzebnie zabrałem się za geometrię stosując dość głupią metodę i tym samym pozbawiłem się czasu. Udało się chociaż to 5. dokończyć, ale też nie jestem pewien czy aby na pewno jest ono na 100% dobrze. Niemniej podsumowując: trzeba będzie pisać maturę w maju

4. Niech \(\displaystyle{ c}\) będzie ustaloną liczbą całkowitą dodatnią. Ciąg \(\displaystyle{ (a_{n})}\) jest określony przez warunki
\(\displaystyle{ a_{1}=1,\;a_{n+1}=d(a_{n})+c}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,...}\),
gdzie \(\displaystyle{ d(m)}\) oznacza liczbę dodatnich dzielników liczby \(\displaystyle{ m}\). Wykazać, że istnieje taka liczba całkowita dodatnia \(\displaystyle{ k}\), że ciąg \(\displaystyle{ a_{k},a_{k+1},a_{k+2},...}\) jest okresowy.

5. Punkt \(\displaystyle{ C}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ AB}\). Okrąg \(\displaystyle{ o_{1}}\) przechodzący przez punkty \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\) przecina okrąg \(\displaystyle{ o_{2}}\) przechodzący przez punkty \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) w różnych punktach \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D}\). Punkt \(\displaystyle{ P}\) jest środkiem tego łuku \(\displaystyle{ AD}\) okręgu \(\displaystyle{ o_{1}}\), który nie zawiera punktu \(\displaystyle{ C}\). Punkt \(\displaystyle{ Q}\) jest środkiem tego łuku \(\displaystyle{ BD}\) okręgu \(\displaystyle{ o_{2}}\), który nie zawiera punktu \(\displaystyle{ C}\). Dowieść, że proste \(\displaystyle{ PQ}\) i \(\displaystyle{ CD}\) są prostopadłe.

6. Dana jest liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) oraz liczba całkowita \(\displaystyle{ n}\), przy czym \(\displaystyle{ {p}\geq{n}\geq{3}}\). Zbiór \(\displaystyle{ A}\) składa się z n-wyrazowych ciągów o wyrazach ze zbioru \(\displaystyle{ \{0,1,2,...,p-1\}}\) i ma następującą własność:
Dla dowolnych dwóch ciągów \(\displaystyle{ (x_{1},x_{2},...,x_{n})}\) oraz \(\displaystyle{ (y_{1},y_{2},...,y_{n})}\) ze zbioru \(\displaystyle{ A}\) istnieją takie liczby \(\displaystyle{ k,\,l,\,m}\), że
\(\displaystyle{ {x_{k}}\neq{y_{k}},\;{x_{l}}\neq{y_{l}},\;{x_{m}}\neq{y_{m}}}\)
Wyznaczyć największą możliwą liczbę elementów zbioru \(\displaystyle{ A}\).

Bardzo mnie ciekawi ile osób zrobiło ładnie zadanie drugie... Bo np. w Łodzi przy omawianiu zadań na pytanie kto zrobi to zadanie wszyscy zareagowali najpierw ciszą a potem śmiechem . A nawet szanownym panom profesorom zrozumienie rozwiązania firmowego sprawiało problemy, wspólnymi siłami udało im się jednak przepisać rozwiązanie z kartki na tablicę .

A za dzisiaj dostanę okrągłe zero Walnąłem co prawda jakąś ściemę w 5, ale szyta grubymi nićmi. No... może gdyby się zlitowali to 2 dostanę Czyli w sumie moje oceny szacuję na przedział 0-9 o rozkładzie prawdopodobieństwa po krzywej Gaussa Ale rozwaliło mnie jak zobaczyłem, jakie to 5 jest trywialne. W zasadzie to stwierdziłem, że przez te dwa dni trzy zadania były spokojnie w zasięgu moich możliwości, no ale cóż - każdy ma lepsze i gorsze dni

Ech wiec tak: pierwsze jakos zrobiłem choc nie za elegancko mozna się pewnie do czegoś przeyczepić realistycznie- 5 punktów pesymymistycznie 2 punkty, drugie porazka- nic rozsądnego nie napisałem o punktów, trzecie niby zrobione ale z dość poważnymi usterkami i kompletnie i naczej jak firmówka więc pewnie 2 punkty(pesymistycznie 0),, czwarte napisałem powieść fabularną pod tytułem " w zależności od c, ciąg przyjmie taką i taką postać, a z tego wynika to no i każdy widzi, że to cholerstwo jest okresowe" czyli innymi słowy 2 punkty optymistycznie, pesymistycznie 0 punktów, piąte zrobiłem ale niezaładnie - "na chama" z podbieństwa trójkątów itp. ( na początku mialem bład w rysunku i przez to wszystko wychodziło za prosto... ech to był zawód) w sumie rozwiązanie pisałem przez 4h więc nie wiem jak ze spójnością - optymistycznie 5 punktów pesymistycznie 2 lub nawet 0, szóste powiedziałem sobie, że wstyd oddawac czystą kartkę więc naskrobałem im, że liczba owa będzie bez wątpienia dodatnia i całkowita. 0 punktów. Ogólnie myśle, że całkiem niezle jak na pierwszą klasę i biorąc pod uwage to ile czasu poświęciłem na nauke. Sporo osób zrobiło jeszce mniej więc przy baaaardzo pomyślnych wiatrach może się przejść. A jak nie to sprubuje się za rok...