całki krzywoliniowe nieskierowana i skierowana

[kool]

Witam, zwracam się z prośba o pomoc w rozwiązaniu dwóch całek:

całka krzywoliniowa nieskierowana:
\(\displaystyle{ \int_{L} (x+y) dl}\) gdzie L: to trójkąt o wierzchołkach A(0,0), B(1,0), C(0,1)

całka krzywoliniowa skierowana:
\(\displaystyle{ \int_{K} zdx + xdy + ydz}\)

gdzie: \(\displaystyle{ K:}\) \(\displaystyle{ x=sint}\) \(\displaystyle{ y=3sint}\) \(\displaystyle{ z= sin^{2}t}\)
\(\displaystyle{ 0 \le t \le \frac{pi}{2}}\)

z góry dziekuje za wszelką pomoc i wskazówki:)

-- 6 maja 2009, o 19:18 --

w tej skierowanej z tego co mi sie wydaje trzeba skorzystać ze wzoru:

\(\displaystyle{ \int_{K} P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz}\) =

= \(\displaystyle{ \int_{a}^{b} [P( x(t),y(t),z(t))*x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))*y'(t)+R( x(t),y(t),z(t))*z'(t)]dt}\)

no i potrzebne mi pochodne(nie wiem czy dobrze je licze... : x'(t)=cost y'(t)=3sint z'(t)=2sintcost

i wychodzi cos takiego.... \(\displaystyle{ \int_{0}^{pi/2} [sin^{2}t*cost+sint*3cost+3sint*2sintcost]dt}\)

i prosiłbym o rzucenie okiem na to czy to jest w miare sensowne i jak to dalej liczyć...

[BettyBoo]

jak na razie dobrze - funkcja podcałkowa ma więc postać \(\displaystyle{ 7sin^2tcost+\frac{3}{2}sin2t}\)
W pierwszej części podstawiasz za sinus, a druga to gotowa całka


jeśli chodzi o całkę nieskierowaną, to zamieniasz ją na całkę oznaczoną wg wzoru

\(\displaystyle{ \int_L f(x,y)dl=\int_a^b f(x(t),y(y))\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}dt}\), gdzie \(\displaystyle{ x=x(t), y=y(t), a\leq t\leq b}\) jest parametryzacją krzywej L. Swoją krzywą musisz podzielić na 3 części - każdy bok trójkąta z osobna parametryzować. Rozbijasz więc całkę na sumę 3 całek, które po podstawieniu wychodzą łatwiutkie.

Pozdrawiam.

[kool]

dziękuje bardzo za pomoc, na pewno się przyda:)

funkcja podcałkowa ma więc postać \(\displaystyle{ 7sin^2tcost+\frac{3}{2}sin2t}\)

prosiłbym jeszcze jeśli to mozliwe o rozpisanie jakos szczegółowiej właśnie ta funkcje podcałkową, bo mi troszke inaczej wyszła;/ ale pewnie mój bład...

[BettyBoo]

Tak samo Ci wyszła Pierwszy i ostatni składnik są takie same z dokładnością do stałej - i stąd masz 7 - natomiast środkowy składnik się upraszcza do tego, co napisałam ze wzoru \(\displaystyle{ sin 2t=2sintcost}\)

Pozdrawiam.

[kool]

dobrze wiec jeśli tak ma wyglądać funkcja podcałkowa w skierowanej to czy te obliczenia sa poprawne???

\(\displaystyle{ \int_{0}^{pi/2} [sin^{2}t*cost+sint*3cost+3sint*2sintcost]dt}\)= \(\displaystyle{ \int_{0}^{pi/2} [7sin^2tcost+\frac{3}{2}sin2t]dt}\)\(\displaystyle{ =1+ \frac{1}{3}}\)


\(\displaystyle{ \int [\frac{3}{2}sin2t]dt= {3}\int [sin{t}]dt= {3}[-cost]}\)\(\displaystyle{ -> [-3cost] |_0^{\frac{\pi}{2}}}\) \(\displaystyle{ = [-3cos{\frac{\pi}{2}}]-[-3cos0]}\)\(\displaystyle{ =0+1=1}\)

\(\displaystyle{ \int[7sin^2tcost]dt=}\)
sint=z
costdt=dz
=\(\displaystyle{ \int[z ^{2}dz]= \frac{z ^{3} }{3}+C=}\) \(\displaystyle{ \frac{ sin^{3}t }{3}|_0^{\frac{\pi}{2}}}\)
= \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)

Proszę jeszcze raz o pomoc czy dobrze to liczyłem, a jeśli nie to o poprawki... zaś co do nieskierowanej nadal nie doszedłem do tego jak ma wyglądać funkcja podcałkowa, no i ogólnie mam w niej problem z parametryzacją, bo nigdy nie robiłem tego gdy L: to trójkąt...
pozdrawiam

[BettyBoo]

Troszkę oszukałeś

\(\displaystyle{ \int [\frac{3}{2}sin2t]dt= \frac{3}{2}\int [sin{2t}]dt= \frac{3}{4}[-cos2t]+c-> [-\frac{3}{4}cos2t] |_0^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{3}{4}(-1-1)=\frac{3}{2}}\)

Druga całka dobrze.



Jeśli chodzi o parametryzację trójkąta - to oczywiście nie da się tego zrobić w jednym kawałku. Potniemy więc krzywą na części (skoro to trójkąt, to wystarczy na 3, tniemy w wierzchołkach) i każdą część trójkąta parametryzujemy osobno.

A(0,0), B(1,0), C(0,1)

odcinek AB: \(\displaystyle{ x=t,\ y=0,\ 0\leq t\leq 1}\)
odcinek BC zawiera się w prostej o równaniu y=1-x, a więc jego parametryzacja to \(\displaystyle{ x=t,\ y=1-t,\ 0\leq t\leq 1}\)
odcinek CA: \(\displaystyle{ x=0,\ y=-t,\ -1\leq t\leq 0}\) (lub \(\displaystyle{ x=0,\ y=1-t,\ 0\leq t\leq 1}\))

Całka po całym trójkącie to suma całek po jego bokach - parametryzację każdego boku masz, to teraz trzeba tylko wstawić do wzoru, który podałam wyżej.

Pozdrawiam.

[kool]

O to jestem bardzo wdzięczny za doprowadzenie do ostatecznego rozwiązania całki skierowanej;)
A teraz pomęcze jeszcze całką nieskierowaną ...
dzięki wskazówką, myślę, że zrozumiałem na czym polega parametryzancja
ale proszę ponownie o wniesienie poprawek, bo coś wychodzi mi bez sensu ;/

\(\displaystyle{ \int_{L} f(x,y)dl= \int_{a}^{b} f(x(t),y(t)) \sqrt{x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\)
więc:
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} (t*1) dt + \int_{0}^{1}[(t+(1-t))*0] dt+ \int_{0}^{1}[(1-t)*(-1)]dt=}\)

\(\displaystyle{ \frac{t^{2}}{2}|_0^{{1}}}\) \(\displaystyle{ + ( \frac{t^{2}-1}{2})|_0^{{1}}\)=
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}- \frac{1}{2}=0}\)

Z góry przepraszam jeśli narobiłem tu jakiś prostych błędów

[BettyBoo]

\(\displaystyle{ x=t,\ y=1-t,\ \Rightarrow x'=1,\ y'=-1\ \Rightarrow \ \sqrt{x'^2+y'^2}=\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ x=0,\ y=1-t,\ \Rightarrow x'=0,\ y'=-1\ \Rightarrow \ \sqrt{x'^2+y'^2}=1}\)

I teraz będzie pasować

W ogóle to jak sama nazwa wskazuje, całka jest nieskierowana - a więc nie ma tak naprawdę znaczenia, jak sparametryzujesz - tzn czy sparametryzujesz CA, czy AC (kierunek krzywej nie ma znaczenia).
Może niepotrzebnie wspominałam o CA, zwłaszcza, że BC sparametryzowałam tak, jakby to był CB Chciałam tylko podkreślić, że to trójkąt, więc krawędzie to odpowiednie odcinki

Oczywiście bardziej naturalnie będzie jeśli weźmiesz parametryzację AC: \(\displaystyle{ x=0,\ y=t,\ 0\leq t\leq 1}\) - możesz sobie sprawdzić organoleptycznie, że naprawdę to samo wychodzi.

Pozdrawiam.

[kool]

nie wiem co powiedzieć jestem bardzo wdzięczny, no i myślę, że najodpowiedniejsze będzie tu proste słowo:

DZIĘKUJE

Pozdrawiam