rownanie macierzowe

[Jacek_fizyk]

Prosze o obliczenie prostego rownania macierzowego
\(\displaystyle{ X^3+2X=\left[\begin{array}{ccc}1&1\\0&1\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ X=\left[\begin{array}{ccc}\alpha&\beta\\\beta&\gamma\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}\alpha^3+2\alpha&\beta(\alpha^2+\alpha\gamma+\gamma^2+2)\\0&\gamma^3+2\gamma\end{array}\right]= \left[\begin{array}{ccc}1&1\\0&1\end{array}\right]}\)

prosze zeby mi ktos wyjasnil dwie rzeczy

skad w ostatniej macierzy wzielo sie 0 (drugi wiersz, pierwsza kolumna) i skad wzielo sie \(\displaystyle{ \beta(\alpha^2+\alpha\gamma+\gamma^2+2)}\) (pierwszy wiersz druga kolumna)

z gory dziekuje

[scyth]

Źle jest macierz podniesiona do potęgi. Powinno być:
\(\displaystyle{ X^3=\left[\begin{array}{cc} a & b\\ b & c \end{array}\right]^3 =
\left[\begin{array}{cc} a(a^2 + b^2) + b(ab + bc) & a(ab + bc) + b(b^2 + c^2) \\
b(a^2 + b^2) + c(ab + bc) & b(ab + bc) + c(b^2 + c^2) \end{array}\right]}\)
Może są jakieś dodatkowe założenia?

[Jacek_fizyk]

tylko tyle, nie ma zalozen, ja wlasnie nie wiem skad bierze sie 0 i \(\displaystyle{ \beta(\alpha^2+\alpha\gamma+\gamma^2+2)}\)
zadanie pochodzi z analizy numerycznej gdzie chodzi o metode Newtona, mi potrzebne jest juz tylko rozwiazanie tego rownania macierzowego i dojscie do rownan:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \alpha^3+2\alpha=1\\(\alpha^2+\alpha\gamma+\gamma^2+2)\beta=1\\\gamma^3+2\gamma=1 \end{array}\right.}\)

mi wychodza tylko dwa rownania, natomiast to srodkowe nie....skad ono sie tam wzielo?

[scyth]

Ja nie wiem skąd się bierze \(\displaystyle{ \alpha^3}\) i \(\displaystyle{ \gamma^3}\)...

[Jacek_fizyk]

wiec zaczyna sie od:
znalezc macierz kwadratowa 2x2 ktora satysfakcjonuje rownanie macierzowe:
\(\displaystyle{ X^3+2X=\left[\begin{array}{ccc}1&1\\1&0\end{array}\right]}\)
wprowadz odpowiednie oznaczenia dla nieznanych elementow macierzy, wyznacz rownania dla niewiadomych oraz sformuluj metode Newtona dla naszego ukladu rownan.

Sledzac rozwiazanie (rozumiem do pewnego momentu) :
Niech:

\(\displaystyle{ \alpha=x_{1,1}, \beta=x_{1,2}=x_{2,1},\gamma=x_{2,2}}\) zatem nasza matryca X bedzie miala postac X= \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}\alpha&\beta\\\beta&\gamma\end{array}\right]}\)

dalej podnosze macierz do szescianu....z tego co napisales to zrobilem to zle.......i wlasnie nie rozumiem bo na wikipedii jest
\(\displaystyle{ A^3 = A*A*A}\) wiec w naszym przypadku powinno byc

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}\alpha&\beta\\\beta&\gamma\end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}\alpha&\beta\\\beta&\gamma\end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}\alpha&\beta\\\beta&\gamma\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&1\\1&0\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}\alpha^3+2\beta^2+\beta^2\gamma&\alpha^2\beta+\beta^2+\alpha\beta\gamma+\beta\gamma^2\\\alpha^3+\alpha\beta\gamma+\alpha\beta^2+\beta\gamma^2&\gamma^3+\alpha\beta\gamma+\beta^2\gamma+\beta\alpha^2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&1\\1&0\end{array}\right]}\)

w rozwiazaniu pisze:
otrzymane rownania:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \alpha^3+2\alpha=1\\(\alpha^2+\alpha\gamma+\gamma^2+2)\beta=1\\\gamma^3+2\gamma=1 \end{array}\right.}\)

jak dojsc do tych rownan.....

[scyth]

Jeszcze zapomniałeś o \(\displaystyle{ +2X}\), co nie zmienia faktu, że otrzymane równania są dla mnie zagadką...

[Jacek_fizyk]

Ja nie wiem skąd się bierze \(\displaystyle{ \alpha^3}\) i \(\displaystyle{ \gamma^3}\)...

wiec zaczyna sie od:
znalezc macierz kwadratowa 2x2 ktora satysfakcjonuje rownanie macierzowe:
\(\displaystyle{ X^3+2X=\left[\begin{array}{ccc}1&1\\1&0\end{array}\right]}\)
wprowadz odpowiednie oznaczenia dla nieznanych elementow macierzy, wyznacz rownania dla niewiadomych oraz sformuluj metode Newtona dla naszego ukladu rownan.

Sledzac rozwiazanie (rozumiem do pewnego momentu) :
Niech:

\(\displaystyle{ \alpha=x_{1,1}, \beta=x_{1,2}=x_{2,1},\gamma=x_{2,2}}\) zatem nasza matryca X bedzie miala postac X= \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}\alpha&\beta\\\beta&\gamma\end{array}\right]}\)

dalej podnosze macierz do szescianu....z tego co napisales to zrobilem to zle.......i wlasnie nie rozumiem bo na wikipedii jest
\(\displaystyle{ A^3 = A*A*A}\) wiec w naszym przypadku powinno byc

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}\alpha&\beta\\\beta&\gamma\end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}\alpha&\beta\\\beta&\gamma\end{array}\right]}\)\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}\alpha&\beta\\\beta&\gamma\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&1\\1&0\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow \left[\begin{array}{ccc}\alpha^3+2\beta^2+\beta^2\gamma&\alpha^2\beta+\beta^2+\alpha\beta\gamma+\beta\gamma^2\\\alpha^3+\alpha\beta\gamma+\alpha\beta^2+\beta\gamma^2&\gamma^3+\alpha\beta\gamma+\beta^2\gamma+\beta\alpha^2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&1\\1&0\end{array}\right]}\)

w rozwiazaniu pisze:
otrzymane rownania:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \alpha^3+2\alpha=1\\(\alpha^2+\alpha\gamma+\gamma^2+2)\beta=1\\\gamma^3+2\gamma=1 \end{array}\right.}\)

jak dojsc do tych rownan.....

P.S Macierz ma byc 2X2 , ponadtrojkatna

-- 5 maja 2009, 09:58 --

Jeszcze zapomniałeś o \(\displaystyle{ +2X}\), co nie zmienia faktu, że otrzymane równania są dla mnie zagadką...

dla mnie takze....wydaje mi sie ze cale zadanie ma do czynienia z LU faktoryzacja moze.....
dzieki za chec pomocy.
Pozdrawiam