Matematyka.pl

Rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ x^{19} + x^{95} = 2x^{19+95}}\)

Dzięki

Podstawienie :
\(\displaystyle{ x^{19} =t}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ x^{95}= t^{5}}\)
I tak dalej. Sprobuj sam cos dalej wykombinowac. W razie czego pomoge.

Może czegoś nie widzę, ale podstawiałem tak i nie potrafię doprowadzić rozwiązania do końca..

Pokaz do czego doszedles. Dalej podam Ci jakąs wskazowke.

\(\displaystyle{ t(1 + t^{4} - 2t^{5} ) = 0}\)
Dostaję rozwiązanie, że x=0, ale co z nawiasem zrobić to nie wiem

Schematem Hornera potraktuj. Jeden pierwiastek to od razu widac (\(\displaystyle{ 1}\)). Mozesz tez podzielic wielomiany. Jak wolisz. Probuj , probuj- w ten sposob sie uczysz

O jej, ale wtopa Całkiem zapomniałem o zastosowaniu twierdzenia Bezouta, dzięki wielkie

Ja to zrobiłem tak:
Dla \(\displaystyle{ x}\) ujemnych lewa strona jest ujemna a prawa dodatnia, dla \(\displaystyle{ x=0}\) działa, załóżmy od teraz, że \(\displaystyle{ x>0}\). Dostajemy równoważne równanie:
\(\displaystyle{ 1=x^{78}(2x^{17}-1)}\) \(\displaystyle{ (1)}\).
Potraktujmy prawą stronę tego równania jako funkcję \(\displaystyle{ f}\) zmiennej \(\displaystyle{ x}\).
Dla \(\displaystyle{ x \in (0, \sqrt[17]{ \frac{1}{2} } ]}\) przyjmuje ona wartości niedodatnie, a na przedziale \(\displaystyle{ (\sqrt[17]{ \frac{1}{2}},+ \infty )}\) jest ściśle rosnąca, zatem równanie \(\displaystyle{ (1)}\) ma co najwyżej jedno rozwiązanie, a jak łatwo zauważyć jest nim \(\displaystyle{ x=1}\).
Wszystkie rozwiązania to \(\displaystyle{ x=0,1}\).