Matematyka.pl

Na rysunku przedstawiony został
szkic części parku. Dwie fontanny
wpisano w prostokątny klomb
kwiatów. Są one styczne do linii
przekątnej klombu. Znamy długość
przekątnej d=10m oraz kąt, jaki
tworzy ta linia z jednym z boków
klombu α=300. Wyznacz długość
przewodu (prostoliniowego) łączącego
środki tych fontann.

a,b boki prostokata a>b, a jest na dole, b jest z prawej
z funkcji trygonometrycznych otrzymujemy a,b \(\displaystyle{ a=5 \sqrt{3},b=5}\)
teraz obliczamy pole trojkata \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}ab= \frac{25 \sqrt{3} }{2}}\)
korzystamy z drugiego wzoru na pole
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}r(a+b+d)= \frac{25 \sqrt{3} }{2}}\)
otrzymujemy promien \(\displaystyle{ r= \frac{5 \sqrt{3} }{2 \sqrt{3}+6 }}\)

edit:
obliczanie sa żmudne, wiec przedstawie tok rozumowania
\(\displaystyle{ x^{2}=(a-r)^{2}+r^{2}}\) otrzymujemy x
\(\displaystyle{ y^{2}=(b-r)^{2}+r^{2}}\) otrzymujemy y
stosujemy tw. cos
\(\displaystyle{ |AB|^{2}=x^{2}+y^{2}-2xycos( \frac{\alpha}{2}+ \frac{\beta}{2} ), \frac{\alpha}{2}+ \frac{\beta}{2} =45 stopni}\)
otrzymujemy AB

teraz zauwazylem ze mozna to zrobic 4x szybciej

A tego czy przechodzi nie jestem pewny:) Ale chyba tak:))

ok napisalem rozw.

Jest duzo prostsza droga rozwiazania bez obliczen z kosmosu. Rysunek :
Na poczatku obliczasz boki trojkata ktore wynosza \(\displaystyle{ 5 i 5\sqrt{3}}\) , liczysz pole trojkata a pozniej ze wzoru \(\displaystyle{ \frac{2P}{a+b+c}}\) wyliczasz promien okregu.
AP to dwusieczna kata 90-30 czyli katy OPA i APH maja po \(\displaystyle{ 30stopni}\)
|OA| to promien, \(\displaystyle{ |OP| = 5-r,}\) wiec pozostaje ci wyliczyc dlugosc |PA| najlatwiej sinusem kata \(\displaystyle{ \beta}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{ |OA| }{|AP| } = \frac{1}{2}}\)
majac |AP| i |PH| \(\displaystyle{ |PH|=1/2|PQ|}\) i kat miedzy nimi obliczasz |AH| z twierdzenia cosinusow, |AH| ktore jest polowa dlugosci |AB| szukanej przez ciebie. Wynik mi wyszedl \(\displaystyle{ 2\sqrt{50-25\sqrt{3}}}\)zakladajac ze nie pomylilem sie w obliczeniach co moglo sie zdarzyc ; d