Matematyka.pl

Potrzebuję losową wartość \(\displaystyle{ X\in(0,1)}\) z rozkładem Weibulla.

Załóżmy, że potrafię wygenerować liczbę losową wg tego rozkładu \(\displaystyle{ X\in(0,+\infty)}\).
Mam też dane parametry rozkładu \(\displaystyle{ \alpha=0,98}\) oraz \(\displaystyle{ \lambda=8 \cdot 10^{-4}}\).

Moje rozwiązanie (*):
Wziąść tę wygenerowaną wartość \(\displaystyle{ X}\), podzielić przez maksimum w tym rozkładzie. wtedy istotnie dostanę wartość z [0,1].

Problemy:
1. Chcę policzyć to maksimum w O(1) tj. wzór na to. Jest to mniejszy problem, O(n) też może być.
2. Przy takich parametrach (\(\displaystyle{ \alpha=0,98}\), \(\displaystyle{ \lambda=8 \cdot 10^{-4}}\)) rozkład daje wartości \(\displaystyle{ X\in(0,+\infty)}\). Dla jakichś ludzkich parametrów (\(\displaystyle{ \alpha \ge 1}\)), można znależć maksimum i zrobić tj. (*). W tej sytuacji nie bardzo wiem co robić.

Jak zrealizować pkt. 2?

Mialem kiedys przedmiot "Optymalizacja stochastyczna" i na nim probowalem jakies takie rzeczy robic... Jesli masz np. rozklad normalny, to korzystajac z reguly trzy-sigmowej, mozesz ograniczyc nosnik rozkladu z \(\displaystyle{ \left( -\infty,+\infty \right)}\) do jakiegos przedzialu, np. \(\displaystyle{ \left[ -3\cdot \sigma,3\cdot \sigma \right]}\)
natomiast w przypadku rozkladu Weibull'a nie mozna tak zrobic dla wszystkich parametrow:
- jesli zobaczysz ten obrazek, to widac na nim, ze rozklad np. \(\displaystyle{ \lambda =1, k=1,5}\) ma "dziwny" ogon, tzn. nie wiadomo jak by go tu obciac...
Mysle ze to co proponujesz jest niestety niepoprawne..., bo rozklad \(\displaystyle{ \frac{X_{i}}{\underset{1\le i\le n}{\max}X_{i}}\not\sim Weibull}\) (nie mówie, że tak jest napewno, po prostu nie widze powodów, żeby tak było)

A ja bym to inaczej zrobil:
Chcesz koniecznie dostać wartości z przedziału \(\displaystyle{ \left(0,1 \right)}\), wiec rozważ rozkład Weibulla obcięty do tego przedziału i losuj z dystrybuanty, tzn. (na podstawie definicji gestosci z: )
\(\displaystyle{ f(x;\lambda,k)=\begin{cases}
\frac{\frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^{k}}}{\intop_{0}^{1}\left[\frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^{k}}\right]dx} & 1>x\geq0\\
0 & x<0\end{cases}}\)

Potem obliczasz dystrybuante i robisz standardowo:
1. Losujesz \(\displaystyle{ n}\) liczb \(\displaystyle{ X_{i}}\) z \(\displaystyle{ \mathcal{U}(0,1)}\)
2. Obliczasz \(\displaystyle{ F^{-1} \left( X_{i}\right)}\) i masz n obserwacji z rozkladu Weibulla obcietego, do (0,1)

Mam nadzieje, ze dobrze Ci mowie:) albo przynajmniej dobrze nakierowuje.