Matematyka.pl

Oblicz pole rombu którego obwód jest równy 16 a stosunek długości jego przekątnych to 2:3.

Skoro obwód rombu wynosi 16 to jego bok a ma długość 16/4=4

Bok a rombu i połowy przekątnych tworzą trójkąt prostokatny, zatem:

\(\displaystyle{ 4^{2}= (\frac{d_{1}}{2})^{2}+ (\frac{d_{2}}{2})^{2}}\)

Mamy: \(\displaystyle{ \frac{d_{1}}{d_{2}}= \frac{2}{3} \Rightarrow d_{1}= \frac{2}{3} d_{2}}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ 16= \frac{1}{9}d_{2}^{2}+ \frac {1}{4} d_{2}^{2} \Leftrightarrow
16= \frac{9+4}{36} d_{2}^{2} \Leftrightarrow

d_{2}= \sqrt{ \frac{16 \cdot 36}{13} }= \frac{24}{ \sqrt{13} } \Rightarrow d_{1}= \frac{2}{3} \cdot \frac{24}{ \sqrt{13} } = \frac{16}{ \sqrt{13} }}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2} d_{1}d_{2}= \frac{1}{2} \cdot \frac{24}{ \sqrt{13} } \cdot \frac{16}{ \sqrt{13} }= \frac{96}{13}}\)

Zacznijmy od policzenia długości boku rombu
\(\displaystyle{ 4a=16}\)
\(\displaystyle{ a=4}\)
krótszą przekątna niech będzie c, a dłuższą d
wiemy, że
\(\displaystyle{ \frac{c}{d}= \frac{2}{3}}\)
\(\displaystyle{ c= \frac{2}{3} d}\)

teraz z tw cosinusów wyliczamy \(\displaystyle{ cos \alpha}\):
\(\displaystyle{ c ^{2}=a ^{2}+a ^{2} -2a ^{2} cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ d ^{2} =a ^{2}+ a^{2}-2a ^{2} cos(180- \alpha )}\)
\(\displaystyle{ cos(180- \alpha)}\) to to samo co \(\displaystyle{ cos \alpha}\)
z pierwszego i drugiego równania wyznaczamy cosinus, porównujemy obra równania a w miejsce c wstawiamy \(\displaystyle{ \frac{2}{3}d}\) wyliczamy d, potem c.
Wstawiamy do wzoru na pole \(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}*c*d}\) i finito:)

Ale nie miałam jeszcze cosinusów i nie wiem jak to zrobić..;/

milek160 pisze: \(\displaystyle{ cos(180- \alpha)}\) to to samo co \(\displaystyle{ cos \alpha}\)

\(\displaystyle{ \cos(180- \alpha)=-\cos \alpha}\)

więc?

asik13m pisze:więc?

Przecież @kuba958 napisał Ci rozwiązanie bez kosinusów.

łoj sorry za tego cosinusa