Matematyka.pl

Mam taka całkę:

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{ \sqrt{3x ^{2}-2 } } = \frac{1}{ \sqrt{2} }* \int \frac{dx}{ \sqrt{ \frac{3}{2}x ^{2} -1 } } = \frac{1}{ \sqrt{2} } * \int \frac{dx}{ \sqrt{( \sqrt{ \frac{3}{2}} x) ^{2} -1} }= \left[ t= \sqrt{ \frac{3}{2} } x \right] = \frac{1}{ \sqrt{2} } * \frac{1}{ \sqrt{ \frac{3}{2} } } * ln \left| t+ \sqrt{t ^{2} -1} \right| +C= \frac{ln \left| \sqrt{ \frac{3}{2} }x + \sqrt{ \frac{3}{2} x ^{2} }-1 \right| }{ \sqrt{3} } +C}\)

powinno wyjsc:

\(\displaystyle{ \frac{ln \left| \sqrt{ 3} x+ \sqrt{ 3x ^{2}-2 } \right| }{ \sqrt{3} } + C}\)

pierwsza linijka dobrze , ale później sam nie wiem gdzie popeniłeś błąd :d
napewno to podstawienie nie da ci nic, bo pochodna z tego podstawienia będzie
\(\displaystyle{ \frac{1}{2 \sqrt{cośtam} } * (cośtam)}\)' więc to podstawowy błąd
a zaraz pomyślimy nad rozwiązaniem tej całki
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{ \sqrt{3x ^{2}-2 } } = \int \frac{dx}{ \sqrt { \left( \sqrt{3}x\right) ^2 -2} }}\)
teraz spróbuj podstawiając \(\displaystyle{ x \sqrt{3} = t}\) tam później można zastosować wzorek ale dla ludzi na początku polecam jednak zrobienie takiego przykładu od dołu do góry
jakbym nie napisał to latex dobrze tego nie wyświetli pomyśl i po podstawieniu domyśl się co tam powinno być

Po pierwsze to troszkę skróciłeś ostatni pierwiastek. Powinno być:
A wynik ci się zgadza. Tylko trzeba skorzystać z podstawowych własności funkcji logarytmicznej, mianowicie:

\(\displaystyle{ \mathcal{I}=\frac{\ln \left| \sqrt{ \frac{3}{2} }x + \sqrt{ \frac{3}{2} x ^{2} -1} \right| }{ \sqrt{3} } +C=\frac{\ln \left| \left(x\sqrt{3}+\sqrt{3x^2-2} \right) \frac{1}{\sqrt{2}} \right|}{ \sqrt{3} } +C= \\ \\ = \frac{\ln \left| \left(x\sqrt{3}+\sqrt{3x^2-2} \right) \right|+\ln \frac{1}{\sqrt{2}}}{ \sqrt{3} } +C= \frac{\ln \left| \left(x\sqrt{3}+\sqrt{3x^2-2} \right) \right|}{ \sqrt{3} }+ \frac{\ln \frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{3}}+C}\)

Zauważ, że ostatnie wyrażenie to stała więc ostatecznie wynik można zapisać jako: