Matematyka.pl

Chciałbym rozstrzygnac zbieznosc:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}{(\frac{1}{3^{\sqrt{n}}})}}\)

pzdr.

Na początek następujące szacowanie:

\(\displaystyle{ \frac{1}{3^{sqrt{n^2+1}}} + ... + \frac{1}{3^{sqrt{(n+1)^2}}} q [(n+1)^2-n^2]*\frac{1}{3^{sqrt{n^2}}} = (2n+1)*\frac{1}{3^{sqrt{n^2}}}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ \Bigsum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^{sqrt{n}}} q \Bigsum_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{3^{sqrt{n^2}}}}\)

Jeśli teraz na ten nowy szereg podziałamy kryterium pierwiastkowym otrzymamy:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{2n+1}{3^n}} = \frac{1}{3} < 1}\)

Czyli szereg ten jest zbieżny, a co za tym idzie szereg początkowy jest także zbieżny.

Po pierwsze skad wiesz ze :
\(\displaystyle{ \frac{1}{3^{\sqrt{n}}}\leq\frac{1}{3^{sqrt{n^2+1}}} + ... + \frac{1}{3^{sqrt{(n+1)^2}}}}\)

Nie wiem, i nic takiego nie napisałem
Przyjżyj się dokładnie pierwszemu szacowaniu.
Stwierdzam tam tylko, że każdy spośród wyrazów\(\displaystyle{ \frac{1}{3^{\sqrt{n^2+1}}},\frac{1}{3^{\sqrt{n^2+2}}},...,\frac{1}{3^{\sqrt{(n+1)^2}}}}\) jest mniejszy od \(\displaystyle{ \frac{1}{3^{\sqrt{n^2}}}}\).

skoro tak to nie rozumiem dlaczego:

\(\displaystyle{ \Bigsum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^{sqrt{n}}} q \Bigsum_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{3^{sqrt{n^2}}}}\)

moglbys mi to bardziej przyblizyc ?

To jest właśnie to początkowe oszacowanie.
To co w nim jest po lewej stronie, to pewien fragment zadanego szeregu.
Zauważ, że po zsumowaniu tych nierówności po liczbach naturalnych otrzymamy:
\(\displaystyle{ \Bigsum_{n=0}^{\infty}(\frac{1}{3^{sqrt{n^2+1}}} + ... + \frac{1}{3^{sqrt{(n+1)^2}}}) q \Bigsum_{n=0}^{\infty}\frac{2n+1}{3^{\sqrt{n^2}}}}\)
Teraz trzeba się przyjżeć i zwrócić uwagę, że lewa strona nierówności to nic innego jak \(\displaystyle{ \Bigsum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{\sqrt{n}}}}\)

dobre dzieki