Matematyka.pl

T.1 Udowodnić, że każdy wielokąt wypukły o polu \(\displaystyle{ 1}\) zawiera sześciokąt wypukły o polu nie mniejszym niż \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\).

T.2 Niech \(\displaystyle{ a,b,c\in \mathbb {R}}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+c^{2}=1 \Rightarrow \frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca} \le \frac{9}{2}}\)

T.3 W czasie zawodów Międzynarodowej Olimpiady Dobierania Zwierząt (International Animal Matching Olympiad) przy okrągłym stole siedzi \(\displaystyle{ 100}\) reprezentantów \(\displaystyle{ 25}\) krajów, po czterech z każdego kraju. Udowodnij, że można tak podzielić wszystkich zawodników IAMO na cztery grupy, że każda grupa zawiera reprezentanta każdego kraju i w żadnej grupie nie ma dwóch zawodników siedzących obok siebie.

T.4 Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) o kącie \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\) przy wierzchołku \(\displaystyle{ A}\). Niech \(\displaystyle{ I}\) będzie środkiem okręgu wpisanego. Przez \(\displaystyle{ P}\) oznaczmy taki punkt na \(\displaystyle{ BC}\), że \(\displaystyle{ 3\cdot|BP|=|BC|}\). Punkt \(\displaystyle{ F}\) leży na \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ IF}\) jest równoległe do \(\displaystyle{ AC}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ |\sphericalangle BFP|= |\sphericalangle FBI|}\).

T.5 Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie skończonym zbiorem punktów na płaszczyźnie, przy czym żadne trzy punkty z \(\displaystyle{ S}\) nie są współliniowe. Dla każdego wielokąta wypukłego \(\displaystyle{ P}\) o wierzchołkach z \(\displaystyle{ S}\) niech \(\displaystyle{ a(P)}\) oznacza liczbę wierzchołków \(\displaystyle{ P}\), a \(\displaystyle{ b(P)}\) liczbę punktów na zewnątrz \(\displaystyle{ P}\). Udowodnij, że dla każdej niezerowej liczby rzeczywistej zachodzi

\(\displaystyle{ \sum_{P} x^{a(P)}(1-x)^{b(P)}=1}\)

przy czym sumowanie zachodzi po wszystkich wielokątach wypukłych o wierzchołkach w \(\displaystyle{ S}\). Przyjmujemy, że odcinek, punkt i zbiór pusty są wielokątami wypukłymi o odpowiednio dwóch, jednym i zerze wierzchołków.

T.6 W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ A}\) ma miarę \(\displaystyle{ 120^{\circ}}\), a \(\displaystyle{ K,L,M}\) są spodkami dwusiecznych \(\displaystyle{ AK, BL, CM}\) odpowiednio. Oblicz \(\displaystyle{ | \sphericalangle LKM|}\).

T.7 Kolonizatorzy zasiedlający kulistą planetę postanowili zbudować \(\displaystyle{ N}\) miast o powierzchni \(\displaystyle{ \frac{1}{1000}}\) planety. Ponadto chcieli, żeby każde \(\displaystyle{ 2}\) punkty należące do różnych miast miały różną szerokość i długość geograficzną. Jaka jest maksymalna wartość \(\displaystyle{ N}\)?

T.8 Okrąg \(\displaystyle{ k}\) wpisany w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) ma promień długości \(\displaystyle{ r}\) . Dwusieczne kątów \(\displaystyle{ BAC, CBA, ACB}\) przecinają \(\displaystyle{ k}\) odpowiednio w \(\displaystyle{ A', B', C'}\). Udowodnić, że zachodzi nierówność \(\displaystyle{ 16\cdot Q^{3} \ge P \cdot 27r^{4}}\), gdzie \(\displaystyle{ Q}\) i \(\displaystyle{ P}\) to odpowiednio pola trójkątów \(\displaystyle{ A'B'C'}\) i \(\displaystyle{ ABC}\).

T.9 Czy istnieje funkcja ograniczona i ciągła \(\displaystyle{ f: \mathbb {R} \to \mathbb {R}}\) taka, że dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y \in \mathbb {R}}\) zachodzi
\(\displaystyle{ (f(x)-f(y))(f(x)+f(y))=f(x-y)f(x+y)}\)

T.10 Rozstrzygnąć, czy istnieje zbiór okręgów w przestrzeni taki, że przez każdy punkt przestrzeni przechodzi dokładnie jeden z tych okręgów.

Jeżeli przyjąć, że okręgi mogą być nieskończenie małe, to można płaszczyznę pokryć nieskończoną ilością okręgów współśrodkowych, a potem takimi płaszczyznami zapełnić przestrzeń. Choć to by było za proste jak na "trudne", więc nie wiem czy można poczynić takie założenie.

Takie rozwiązanie przygotowała połowa warsztatów (w tym ja ) pierwszego dnia, niestety nie zyskało ono aprobaty jury

Nie jestem pewien, ale to może być jakaś wskazówka, albo nawet gotowe rozwiązanie.
Ja niestety nie rozumiem >50% tekstu

Szkic dowodu tej nierownosci:
Zauwazmy, ze wystarczy udowodnic nierownosc gdy \(\displaystyle{ a,b,c \ge 0}\) gdyz w przeciwnym wypadku mianowniki po lewej stronie beda sie zwiekszaly.
Lewa strona nierownosci jest funkcja trzech zmiennych \(\displaystyle{ f(a,b,c) = \frac{1}{1-ab} + \frac{1}{1-ac} + \frac{1}{1-bc}}\)
Nastepnie szukamy ekstremow w przedziale [0,1] i dochodzimy do wniosku, ze funkcja przyjmuje wartosci maksymalne dla x=y=z lub x,y,z nalezacych do brzegow przedzialu. Bezposrednie sprawdzenie pokazuje jednak, ze dla tych wartosci lewa strona nierownosci nie przekracza prawej, a zatem dowod nierownosci mozna uznac za zakonczony.

inna taką funkcja \(\displaystyle{ f(x)=sin(x)}\)

Ogólnie robi się to metodą probabilistyczną

A potem rozszerza na całe \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) mówiąc że to wielomian

bardzo fajne zadanko

niech \(\displaystyle{ X,Y}\) to odbicia \(\displaystyle{ I}\) względem \(\displaystyle{ AC, AB}\) i niech \(\displaystyle{ XY}\) przecina \(\displaystyle{ AC}\) w \(\displaystyle{ E}\)

po przeliczeniu kątów okaże się, że:
- \(\displaystyle{ XY}\) przecina \(\displaystyle{ AB}\) w \(\displaystyle{ F}\)
- \(\displaystyle{ BY \parallel CX}\)
- \(\displaystyle{ FY=FE=EX=AF=FI=IE=EA}\)

czyli \(\displaystyle{ \frac{YF}{FX}=\frac 12 = \frac{BP}{PC}}\) co wraz z równoległością \(\displaystyle{ BY \parallel CX}\) pociąga za sobą \(\displaystyle{ FP \parallel BY}\) zatem \(\displaystyle{ \angle BFP = \angle FBY = \angle IBF}\)

bardzo ładne zadanie na

istnieje

jeśli ktoś zna dowód niekorzystający z indukcji pozaskończonej to niech mi da znać