Matematyka.pl

Czy prawdą jest, że \(\displaystyle{ \overline{(\cos z)} = \cos (\overline{z})}\) oraz \(\displaystyle{ \overline{(\sin z)} = \sin (\overline{z})}\)

Funkcje te wyrażają się wszędzie zbieżnym szeregiem o współczynnikach rzeczywistych.
Wystarczy rozpisać sumę częściową
\(\displaystyle{ S_n=\sum\limits_{k\leq n} a_k z^k}\)
przyłożyć sprzężenie dostając \(\displaystyle{ \overline{S_n(z)}=S_n(\overline{z})}\)
i przejść do granicy, korzystając z ciągłości sprzężenia jako funkcji zespolonej.

Albo rozpisać z jako x + iy, skorzystać ze wzoru na sinus bądź cosinus sumy (bo wzory te "działają" właśnie ze względu na jednoznaczność rozwinięcia w Taylora) i wtedy tak bardziej "algebraicznie" zastosować sprzężanie.