Matematyka.pl

Dwa okręgi, każdy o promieniu 8, są styczne zewnętrznie. Ze środka jednego z nich
poprowadzono styczne do drugiego okręgu. Oblicz pole zacieniowanej figury (patrz rysunek).



zadanie jest proste, gdy wykarzemy że kąt w trójkącie ( pkt przecięcia się okręgu z styczną(c), śodki 2 okręgów(A,B)) wynosi poza 90, 60 stopni(kąt ABC). Jak to zrobić?

punkty styczności stycznych z okręgiem o środku w punkcie B nazywam przez C i D
obliczam z tw Pitagorasa dł AC i AD
następnie liczę długość wysokości opuszczonej z wierzchołków C i D na odcinek AB obliczam to wykorzystując pole które mogę policzyć i dł odcinka Ab która jest równa 16
potem liczę pole czworokąta ACBD z wykorzystaniem przekątnych ( iloczyn przekątnych przez dwa razy sinus kąta zawartego między nimi (90 stopni) ) potem za pomocą twierdzenia kosinusów obliczam kąt CBD
i znając jego miarę obliczam pole wycinka koła. następnie odejmuje je od pola czworokąta które wcześniej obliczyłem i mam wynik .
chyba nie jest to najprostsza droga ale mam nadzieję że poprawna i w miarę klarownie wyjaśniłem ...

No tak, ale jeśli wykażemy, że to jest trójkąt o kątach 30 i 60 to zadanie jest banalne, pytanie tylko jak;]

jeśli mówisz o trójkącie o wierzchołkach AB i w punkcie styczności ( C )
no to w miarę banalne gdyż sokoro znamy ich booki i wiemy że jest to trójkąt prostokątny to wystarczy wziąć arc sin odpowiednich dwóch boków i sprawdzić czy się zgadza z wartością kąta 30 lub 60 stopni ...

niewiem jak to matematycznie udowodnic ale wiem ocb
te katy maja takie miary gdyz oba koła sa przystajace
styczna zawsze jest po katem 90
gdyby przesunac wierzchołek kata w pkt A na jakis punkt obeczy okrągu okazaloby sie ze jest ta kat wpisany oparty na tym samym łuku co środkowy (ten przed przesunieciem) promienie sa rowne i dlatego w wyobrazni mozemy takjakby przesunac to -ale to w wyobrazni nie mam na to oliczen x+2x=90 x=30 2x=60

Ojejku, mi się najbardziej podoba ten pomysł z arcus sinusem
Przecież jeżeli poprowadzimy promień okręgu (tego na prawo) prostopadłego do stycznej, to trójkąt o wierzchołkach w środkach kół i punkcie styczności jest prostokątny i ma kąty 30, 60 i 90 stopni, gdyż przeciwprostokątna jest dwa razy dłuższa od jednej z przyprostokątnych i ma 16 cm.