Matematyka.pl

Na ile sposobów można wybrać spośród dowolnie dużej liczby kółek, kwadratów, trójkątów 11 figur tak aby w wybranej grupie były przedstawiciele co najmniej dwóch z tych figur?
Proszę o sprawdzenie czy zadanie jest rozwiązane prawidłowo:

\(\displaystyle{ n=3, k=9}\) (dwie figury zostały już wybrane)

\(\displaystyle{ \overline{C} ^{k} _{n}=\overline{C} ^{9} _{3}={11\choose 9}+3}\)

3 ponieważ co najmniej 2 różne figury mogą być wybrane na 3 sposoby:
kółko,kwadrat
kółko, trójkąt
kwadrat, trójkąt

Twoje rozwiązanie wydaje mi się w całości bez sensu, więc trudno byłoby mi napisać, gdzie popełniłeś błąd w rozumowaniu. Można to zadanie zrobic w taki sposób, że pomija się na początku założenie "tak aby w wybranej grupie były przedstawiciele co najmniej dwóch z tych figur?" i szuka liczby zbiorów składających się z kółek, kwadratów i trójkątów. Ponieważ zbiór ma mieć 11 elementów, to kółek może być od 0 do 11.

0 kółek:
0 kwadratów i 11 trójkątów
1 kwadrat i 10 trójkątów
...
11 kwadratów i 0 trójkątów
czyli 12 możliwości

1 kółko:
0 kwadratów i 10 trójkątów
...
10 kwadratów i 0 trójkątów
czyli 11 możliwości

...

11 kółek
0 kwadratów i 0 trójkątów
czyli 1 możliwość

Łącznie mamy \(\displaystyle{ 12+11+...+2+1= \frac{12 \cdot 13}{2}=78}\) zbiorów.
Wracając do założenia musimy wykluczyć 3 składajace się z tylko jednego rodzaju figur, czyli ostatecznie mamy \(\displaystyle{ 75}\) sposobów.

Pozdrawiam.