Matematyka.pl

nie wiem czy dobry dział, ale nie wiedziałem gdzie to dodać.

Ile liczb w postaci \(\displaystyle{ 8 ^{m}+ 5^{n}}\) gdzie m i n są liczbami naturalnymi, mniejszych od 10000 daje przy dzieleniu przez 10 resztę 1? Odpowiedź uzasadnij.

\(\displaystyle{ 5^{n}}\) przy n naturalnym zawsze daje resztę 5 przy dzieleniu przez 10. więc \(\displaystyle{ 8^{m}}\) musi dawać resztę 6 przy dzieleniu przez 10.
Rozpatrzmy kolejne potęgi ósemki:
8
64
512
4096
32768
Więc jedyną liczbą naturalną, która jest potęgą ósemki i daje resztę 6 z dzielenia przez 10 jest 4096.
Te szukane liczby to:
4096+5
4096+25
4096+125
4096+625
4096+3125.
Czyli jest 5 takich liczb.

Czemu tylko 5?

szukamy
\(\displaystyle{ 8^m+5^n = 1\ (mod\ 10)\\

5^n=5\ (mod\ 10)\\
8^m=\{8,4,2,6\}\ (mod\ 10)\\

10'000\cdot2'500=25'000'000}\)

co? ale to nie m i n są mniejsze od 10000, tylko \(\displaystyle{ 8 ^{m}+5 ^{n}}\) jest mniejsza od 10000.