Matematyka.pl

W podręczniku z 1 Liceum (WSIP) przeczytałem, iż okres rozwinięcia dziesiętnego ułamka \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) nie może składać się z więcej niż b-1 cyfr.

Mógłby mi ktoś przedstawić podstawy, na jakich możemy dojść do takich wniosków? ( o ile nie wykraczają one materiałem poza program 1 liceum i rzecz jasna wcześniejszych etapów edukacyjnych )

Z góry dziękuję za odpowiedź.

post423914.htm#p423914

Bez twierdzenia Eulera rozwiązanie opisanego problemu byłoby niewykonalne. Dobrze zrozumiałem?

Poza tym linkiem, przedstawię to trochę "prościej":
Kiedy dzielisz pisemnie, z każdego "pojedynczego" dzielenia będącego elementem dzielenia \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) (z którego otrzymujesz jedną cyfrę wyniku) wychodzi reszta mniejsza od \(\displaystyle{ b}\) i większa od \(\displaystyle{ 0}\), a więc może ich być \(\displaystyle{ b-1}\) - \(\displaystyle{ \lbrace 1,2\ldots b-2,b-1\rbrace}\). A jak wiadomo, gdy otrzymasz pewną resztę po raz drugi (już po przekroczeniu przecinka), koło się zamyka i zaczynasz otrzymywać te same cyfry po przecinku, czyli właśnie okres