Matematyka.pl

Księżyc ma masę 81 razy mniejszą niż Ziemia, a jego średnica jest 3,7 raza mniejsza (od ziemskiej).
Oblicz:
a) pracę wzajemnego przyciągania
b) stosunek pierwszych prędk. kosmicznych na Księżycu i na Ziemii
c) stosunek przyspieszen grawitacyjnych na Ksieżycu i Ziemii
Mógłby ktoś pomóc? Nie jestem pewien, czy dobrze mi wyszło

Ad. 1 - Masz na myśli energię "wiązania" grawitacyjnego? Jeżeli tak, to jest to praca, jaką trzeba wykonać, aby przemieścić ciało w polu grawitacyjnym innego ciała do nieskończoności. Jest ona równa całce, ale zapiszę tylko ostateczną postać. De facto energia ta to różnica energii potencjalnych w nieskończoności i odległości R od obiektu:

\(\displaystyle{ \large W=\Delta E_{p}=\frac{GMm}{R}=\frac{GM^2}{81R}=\frac{G}{R}(\frac{M}{9})^2}\)

Tutaj R to odległość Ziemi od Księżyca.

Ad. 2 - Pierwszą prędkość kosmiczną wyprowadzamy z ekwiwalentności siły grawitacji i odśrodkowej bezwładności dla ciała na orbicie równej promieniowi planety:

\(\displaystyle{ \large \frac{mv^2}{R}=\frac{GMm}{R^2}}\)

Stąd też, odpowiednio dla Księżyca i Ziemi:

\(\displaystyle{ \large v_{I.K}=\sqrt{\frac{GM_{K}}{R_K}} \\ v_{I.Z}=\sqrt{\frac{GM_{Z}}{R_Z}}}\)

Teraz tylko musisz uwzglednić,że \(\displaystyle{ R_{Z}=3,7\cdot R_{K}}\) i \(\displaystyle{ M_{Z}=81\cdot M_{K}}\); obliczenie stosunku prędkości będzie banalne.

Ad. 3 - Przyspieszenie grawitacyjne określa się wzorem:

\(\displaystyle{ \large a_{g}=\frac{GM}{R^2}}\)

I tak, dla Księżyca i Ziemi będzie ono równe:

\(\displaystyle{ \large a_{K}=\frac{GM_K}{R_{K}^2} \\ a_{Z}=g=\frac{GM_{Z}}{R_{Z}^2}}\)

Ponownie uwzględnij wzajemne stosunki długości promieni i mas.