Matematyka.pl

Witam,

W planimetrii majac dane długości boków trójkąta i promień okręgu wpisanego w ten trójkąt możemy obliczyć pole ze wzoru: P = (r/2)(a+b+c). To tyle na wstepie ^^

A teraz to o co chce spytac:
Czy analogicznie w stereometrii (dla ostrosłupa, ktory w podstawie ma trójkąt, mając dane pola powierzchnie ścian bocznych i podstawy oraz promień kuli wpisanej w ten ostrosłup) możemy jego objętość obliczyć ze wzoru:
V = (R/3)(A+B+C+D), gdzie:
R - promień kuli
A,B,C,D - pola powierzchni scian ostroslupa

A jezeli tak to czy mozna w rozwiazaniu zadania uznac to za oczywiste?? ;D

Nie jestem pewna do końca czy to jest dobry tok myślenia. Raczej nie przekonuje mnie to. Przypuśćmy, że masz na przykład Promień kuli wpisanej w ostrosłup prawidłowy trójkątny jest równy r , a kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy jest równy α Obliczyć objętość tego ostrosłupa. Wówczas lepiej byłoby wykorzystać wzór na kąt połówkowy, dzieki temu obliczyc pole podstawy.

Hmm... musze jeszcze nad tym pomyslec bo mam mniej wiecej takie zadanie jak napisalas (tzn, dany jest kat nachylenia) tylko ono jest z konkursu a wiec glupota byloby gdybym przepisal tresc i poprosil o rozwiazanie

A co do podanego przeze mnie wzoru, ma ktos moze jeszcze jakies zdanie nt. jego prawdziwości??

Tak myślę, dobrze byłoby żeby ktoś jeszcze się wypowiedział. Weż też po uwagę , że kula wpisana w wielościan to kula, która mieści się w nim cała i której brzeg dotyka wszystkich ścian wielościanu (a nie krawędzi) i nie w każdy wielościan można wpisać kulę. Można tego jednak dokonać m.in. dla każdego wielościanu foremnego.

Niech \(\displaystyle{ O}\) - środek kuli wpisanej w czworościan, \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) - jego wierzchołki.

Jeśli połączymy punkt \(\displaystyle{ O}\) z wierzchołkami, to otrzymamy cztery czworościany, oznaczmy ich objętości przez \(\displaystyle{ V_1, V_2, V_3, V_4}\), \(\displaystyle{ V}\) - objętość 'całego' czworościanu.

Oczywiście \(\displaystyle{ V=V_1+V_2+V_3+V_4}\).

Promień kuli wpisanej jest zarazem wysokością każdego z rozważanych czterech czworościanów, więc \(\displaystyle{ V = \frac{R}{3}A+\frac{R}{3}B+\frac{R}{3}C+\frac{R}{3}D = \frac{R}{3}(A+B+C+D)}\), więc wzór ten jest jak najbardziej prawdziwy Wydaje mi się, że np. na maturze możesz powoływać się na niego bez dowodu.

Wydaje mi się, że np. na maturze możesz powoływać się na niego bez dowodu.

Raczej nie - nie ma go w tablicach tych maturalnych:)

Tomasz Rużycki, dokladnie o takim samym dowodzie myslalem ale nie bylem pewien czy gdzies nie nadinterpretuje...

A zadanko jest z konkursu PW. W zeszlym roku wylosowalem takie samo, powolalem sie na ten dowod ale wiem ze jedno z 10finalowych zadan mialem zle i tak pomyslalem teraz ze upewnie sie czy to nie bylo przypadkiem przez ten wzor.. ale z tego co piszecie to jakies inne zepsulem.. ;D