[Teoria liczb] Równania diofantyczne

[pawelsuz]

Rozwiązać w liczbach naturalnych:

1) \(\displaystyle{ 19x+84y=1984}\)

2) \(\displaystyle{ 19x^{2}-84y^{2}=1984}\)

[Piotrusg]

W musztarim to jest oba o ile pamietam to pokombinuj z tym ze liczby 19 i 84 sa wzglednie pierwsze jeszcze taki mały hint : \(\displaystyle{ 19(x-100)=84(1-y) \(\displaystyle{ }\)}\)

[pawelsuz]

W musztarim jest wskazówka, zeby rozwiazac uklad
\(\displaystyle{ x-100=84p \wedge 1-y=19p}\).
Trzeba udowodnić, że p=0 lub p=1.Jak to zrobić?-- 18 kwietnia 2009, 17:22 --I może dorzuce jeszcze jedno:
\(\displaystyle{ 3^{m}-2^{n}=1}\)

[Nakahed90]

Skorzystaj z Twierdzenia Mihailescu.

[frej]

Patrząc \(\displaystyle{ \pmod{8}}\) mamy \(\displaystyle{ m=2k}\), zatem

\(\displaystyle{ (3^k-1)(3^k+1)=2^n}\)

Potęgi dwójki będące kolejnymi liczbami parzystymi to tylko \(\displaystyle{ 2,4}\), skąd \(\displaystyle{ m=2}\) i \(\displaystyle{ n=3}\).

[pawelsuz]

Skorzystaj z Twierdzenia Mihailescu.

A co to takiego?

[Piotrusg]

Nie no bez jaj nie potrzeba takich twierdzen po prostu z mojego rownania wynika ze aby to bylo prawda to musi byc albo 1) 19(x-100)=0 i 84(1-y)=0 czyli x=100 i y=1 albo 2) 19 i 84 sa wzglednie pierwsze wiec sie nie dziela stad x-100 musi dzielic 84 natomiast 1-y musi dzielic 19 czyli własnie x-100=84p oraz 1-y=19k wiadomo ze x<=100 stad p=-1 a skoro tak to x=16 wowczas otrzymujemy ze y=20 c.k.d

[XMaS11]

Skorzystaj z Twierdzenia Mihailescu.

A co to takiego?

Jedynym rozwiązaniem równania
\(\displaystyle{ a^m+1=b^n}\) dla \(\displaystyle{ a,b,m,n}\) całkowitych dodatnich i \(\displaystyle{ m,n \ge 2}\) jest
\(\displaystyle{ (a,b,m,n)=(2,3,3,2)}\)

[Dumel]

zad. 2. z pierwszego posta: 99350.htm