zderzenie doskonale sprężyste

Ruch prostoliniowy, po okręgu, krzywoliniowy. rzuty. Praca, energia i moc. Zasady zachowania.
kamcio121
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 18 kwie 2009, o 14:34
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy

zderzenie doskonale sprężyste

Post autor: kamcio121 » 18 kwie 2009, o 15:00

Witam wszystkich. Potrzebuje pomocy z fizyki, jednak chodzi tutaj o typowe obliczenia matematyczne. A mianowicie dostalem takie zadanie:
Z wzoru \(\displaystyle{ m_{1}}\) × \(\displaystyle{ v_{1}}\) + \(\displaystyle{ m_{2}}\) × \(\displaystyle{ v_{2}}\) = \(\displaystyle{ m_{1}}\) × \(\displaystyle{ u_{1}}\) + \(\displaystyle{ m_{2}}\) × \(\displaystyle{ u_{2}}\) (zasada zachowania pedu w zderzeniu doskonale sprezystym centralnym) mam obliczyc \(\displaystyle{ u_{1}}\) i \(\displaystyle{ u_{2}}\).
Znalazlem gotowy wzor na:

\(\displaystyle{ u_{1}}\) = \(\displaystyle{ \frac{(m_{1} - m_{2}) v_{1} + 2 m_{2} v_{2}}{m_{1} + m_{2}}}\)

\(\displaystyle{ u_{2}}\) = \(\displaystyle{ \frac{(m_{2} - m_{1}) v_{2} + 2 m_{1} v_{1}}{m_{1} + m_{2}}}\)

Potrzebuje jednak miec obliczenia, a z moich dotychczasowych prob nic nie wychodzi
Bardzo was prosze o pomoc!
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
bereta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 122
Rejestracja: 17 kwie 2009, o 13:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Bydgoszcz
Pomógł: 40 razy

zderzenie doskonale sprężyste

Post autor: bereta » 18 kwie 2009, o 15:16

W zderzeniu doskonale sprężystym poza zasadą zachowania pędu zachodzi również zasada zachowania energii kinetycznej, którą można zapisać w następujący sposób:

\(\displaystyle{ \frac{ m_{1}v_{1}^{2} }{2} +\frac{ m_{2}v_{2}^{2} }{2}=\frac{ m_{1}u_{1}^{2} }{2}+\frac{ m_{2}u_{2}^{2} }{2}}\)

W swoich obliczeniach musisz skorzystać z powyższego równania i z równania, o którym pisałeś w swoim poście. Powodzenia

kamcio121
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 18 kwie 2009, o 14:34
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy

zderzenie doskonale sprężyste

Post autor: kamcio121 » 18 kwie 2009, o 15:50

Chyba jestem na to trochę za tępy... Nadal nie mogę się z tym uporać
Czy mogę liczyć jeszcze na jakąś podpowiedź?

Awatar użytkownika
bereta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 122
Rejestracja: 17 kwie 2009, o 13:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Bydgoszcz
Pomógł: 40 razy

zderzenie doskonale sprężyste

Post autor: bereta » 18 kwie 2009, o 21:07

Rzeczywiście, poniższy układ równań może sprawić sporo kłopotu:

\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{ m_{1}v_{1}^{2}}{2}+\frac{ m_{2}v_{2}^{2}}{2}= \frac{ m_{1}u_{1}^{2}}{2}+ \frac{ m_{2}u_{2}^{2}}{2}
\\ m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}\end{cases}}\)


Rozwiązanie krok po kroku:
1. Obie strony pierwszego równania mnożymy przez 2. Otrzymujemy:

\(\displaystyle{ m_{1}v_{1}^{2} + m_{2}v_{2}^{2}= m_{1}u_{1}^{2} +m_{2}u_{2}^{2}}\)

2. Porządkujemy obie strony równania:

\(\displaystyle{ m_{1}v_{1}^{2}-m_{1}u_{1}^{2} =m_{2}u_{2}^{2}- m_{2}v_{2}^{2}}\)

\(\displaystyle{ m_{1}(v_{1}^{2}-u_{1}^{2})=m_{2}(u_{2}^{2}-v_{2}^{2})}\)

3. Korzystamy ze wzorów skórconego mnożenia:

\(\displaystyle{ m_{1}(v_{1}-u_{1})(v_{1}+u_{1})=m_{2}(u_{2}-v_{2})(u_{2}+v_{2})}\)

4. Następnie wykonujemy poniższe mnożenie:

\(\displaystyle{ (m_{1}v_{1}-m_{1}u_{1})(v_{1}+u_{1})=m_{2}(u_{2}-v_{2})(u_{2}+v_{2})}\)

5. Pod \(\displaystyle{ m_{1}u_{1}}\) podstawiamy \(\displaystyle{ m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}-m_{2}u_{2}}\), co wynika z przekształcenia drugiego równania:

\(\displaystyle{ (m_{1}v_{1}-m_{1}v_{1}-m_{2}v_{2}+m_{2}u_{2})(v_{1}+u_{1})=m_{2}(u_{2}-v_{2})(u_{2}+v_{2})}\)

6. Porządkujemy równanie z nawiasu i wyciągamy wspólny czynnik przed nawias:

\(\displaystyle{ m_{2}(u_{2}-v_{2})(v_{1}+u_{1})=m_{2}(u_{2}-v_{2})(u_{2}+v_{2})}\)

7. Potem dzielimy obie strony równania przez \(\displaystyle{ m_{2}(u_{2}-v_{2})}\):

\(\displaystyle{ v_{1}+u_{1}=v_{2}+u_{2}}\)

8. Wyznaczamy \(\displaystyle{ u_{1}}\):

\(\displaystyle{ u_{1}=v_{2}+u_{2}-v_{1}}\)

9. Z drugiego równania (patrz: układ równań na początku postu) wyznaczamy \(\displaystyle{ u_{2}}\)

\(\displaystyle{ u_{2}= \frac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}-m_{1}u_{1}}{m_{2}}}\)

10. Równanie z punktu 9. podstawiamy do równania z punktu 8.

\(\displaystyle{ u_{1}=v_{2}+\frac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}-m_{1}u_{1}}{m_{2}}-v_{1}}\)

11. Mnożymy obie strony równania z punktu 10. przez \(\displaystyle{ m_{2}}\) i porządkujemy czynniki:

\(\displaystyle{ m_{2}u_{1}=m_{2}v_{2}+{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}-m_{1}u_{1}}-m_{2}v_{1}}\)

\(\displaystyle{ u_{1}(m_{1}+m_{2})=v_{1}(m_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}}\)

12. Na końcu dzielimy przez \(\displaystyle{ m_{1}+m_{2}}\) i otrzymujemy wzór na \(\displaystyle{ u_{1}}\)

W przypadku wzoru na \(\displaystyle{ u_{2}}\) postępujemy podobnie, ale już nie chce mi się dalej rozpisywać na ten temat w tym poście

kamcio121
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 18 kwie 2009, o 14:34
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy

zderzenie doskonale sprężyste

Post autor: kamcio121 » 19 kwie 2009, o 08:52

Jesteś wielki
A już byłem pewny że takie przekształcenie nie istnieje
Wielkie dzięki!!!

Chicago1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 12 sty 2014, o 12:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wawa

zderzenie doskonale sprężyste

Post autor: Chicago1 » 12 sty 2014, o 12:25

Dzięki wielkie. Jesteś cudowna.
Mocno się przydało. Zwłaszcza, że to podstawa zadania, które właśnie robię i całego tego działu.

nattula
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 12 mar 2012, o 16:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: bydgoszcz

zderzenie doskonale sprężyste

Post autor: nattula » 18 lis 2014, o 16:49

Witam
Bardzo proszę o pomoc w tym zadanku, rozwiązanie i najlepiej wytlumaczenie

http://imageshack.com/a/img537/8051/l0BPw3.png

Z góry dziękuje !!!

ODPOWIEDZ