Matematyka.pl

Bardzo proszę o wskazówki wytłumaczenie metod rozwiązania tych zadań lub ich rozwiązanie, gdyż muszę się tego nauczyć na sprawdzian. Część rozwiązałam - proszę o sprawdzenie .Z góry dziękuję

Zad. 1
Dla funkcji \(\displaystyle{ 6x ^{2} -x-2}\) znajdź największą i najmniejszą wartość w przedziale <0,3>.

Zad.2
Liczbę 48 przedstaw w postaci sumy dwóch składników, takich, aby suma ich kwadratów była największa.

Zad.3
Liczbę 42 przedstaw w postaci sumy dwóch składników, tak, aby różnica ich kwadratów była równa 168.
oto moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ x + y = 42}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}-y ^{2}=168}\)

\(\displaystyle{ x=42-y}\)
\(\displaystyle{ (42-y) ^{2}-y ^{2}=168}\)
\(\displaystyle{ 1764-84y+y ^{2}-y ^{2}=168}\)
\(\displaystyle{ 1764-84y-168=0}\)
\(\displaystyle{ y=19}\)
\(\displaystyle{ x+y=42}\)
\(\displaystyle{ x+19=42}\)
\(\displaystyle{ x=23}\)

Zad.4
Dla każdej liczby rzeczywistej "b" równanie \(\displaystyle{ y= \frac{1}{2}x ^{2}-bx+2}\) opisuje pewną parabole. Wyznacz wszystkie wartości parametru "b", dla których wierzchołek paraboli leży nad osią OX.

Zad.5
Zbiorem wartości funkcji kwadratowej "q" jest przedział zamknięty prawostronnie \(\displaystyle{ (- \infty , 5>}\) a zbiorem rozwiązań nierówności q(x)>0 jest przedział \(\displaystyle{ (2,8)}\). wyznacz wzór funkcji "q".

Zad.6
Wykaż, że dla m=3 nierówność \(\displaystyle{ x ^{2}+(2m-3)x+2m+5>0}\) jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste "x".

Zad.7
Jednym z \(\displaystyle{ x _{0}}\) funkcji kwadratowej "f" jest liczba 5. Maksymalny przedział, w którym ta funkcja jest malejąca to\(\displaystyle{ (2, \infty)}\). Największa wartość funkcji "f" w przedziale <-8 , -7> jest równa "-24". wyznacz wzór funkcji "f" i narysuj jej wykres.

Zad.8
Podaj wzór funkcji kwadratowej, której zbiorem wartości jest przedział \(\displaystyle{ <-2, \infty )}\).

Zad.9
Ile rozwiązań ma równanie :\(\displaystyle{ \frac{x+3}{(5-x)(x+2)} =0}\). Podaj je.
x+3=0
x=3
(x+3)(5-x)(x+2)=0
\(\displaystyle{ x _{1}=-3}\) \(\displaystyle{ x _{2}=5}\) \(\displaystyle{ x _{3}=-2}\)

Zad.10
Podaj wzór rozwiązań nierówności \(\displaystyle{ x ^{2} \ge 9}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} \ge 9}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} -9 \ge 0}\)
\(\displaystyle{ (x-3)(x+3) \ge 0}\)
x=3 x=-3
\(\displaystyle{ x \in <-3,3>}\)

Zad.11
Rozwiąż równanie: \(\displaystyle{ x ^{3}-12x ^{2}+x-12=0}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}(x-12)-1(x-12)=0}\)
\(\displaystyle{ (x-12)x ^{2}=0}\)
\(\displaystyle{ x=12 x \in zbiór pusty}\)

Zad.12
Z prostą o jakim równaniu wykres funkcji kwadratowej \(\displaystyle{ f(x)=(x-3) ^{2}-2}\) nie ma wspólnych punktów?

Zad.13
Podaj wzór rozwiązań nierówności \(\displaystyle{ x ^{2}>4x}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}>4x}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}-4x>0}\)
\(\displaystyle{ x(x-4)}\)
\(\displaystyle{ x=4}\)

Zad.14
Wskaz równianie osi symetrii paraboli określonej równaniem \(\displaystyle{ y=-x ^{2}+4x-11}\)

Zad. 15
Wskaz funkcję kwadratowa, której zbiorem rozwiązań jest przedział \(\displaystyle{ (- \infty ,3>}\)

Zadanie 1
\(\displaystyle{ f(x)=6x^2-x-2}\)
\(\displaystyle{ f'(x)=12x-1}\)\(\displaystyle{ f'(x)=0 \Leftrightarrow x\frac{1}{12}}\)
\(\displaystyle{ f(\frac{1}{12})=-\frac{49}{24}}\)
\(\displaystyle{ f(0)=-2}\)
\(\displaystyle{ f(3)=49}\)
a więc największą wartość w tym przedziale funkcja osiąga w punkcie \(\displaystyle{ x=3}\), najmniejszą w \(\displaystyle{ x=-\frac{1}{12}}\)

Nie bardzo wiem skąd się to wszystko wzięło....chodzi tu o p i q?

Liczymy pochodną. Szukamy punktów w których się zeruje. Sprawdzamy wartości funkcji w punktach, w których pochodna się zeruje oraz punktach na brzegu przedziału. Wybieramy wartość największą i najmniejszą.

jestem na macie podstawowej i chyba dalej nie rozumiem :/ może jest jakieś prostsze wytłumaczenie albo sposób?

Mozesz to tez zrobic w ten sposob:
policzyc f(0), f(3), p a potem f(p)

to tak f(O) = -2 f(3)=49 a f(p) (policzyłam f(2) i wyszło mi 20)

Zad. 1
Dla funkcji 6x ^{2} -x-2 znajdź największą i najmniejszą wartość w przedziale <0,3>.

Tego co on ci wyżej pisał(pochodnej) nie ma nawet na rozszerzonej, więc się nie przejmuj.

Najpierw wyznaczamy współrzędną x wierzchołka i sprawdzamy, czy leży on w danym przedziale.
\(\displaystyle{ p=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-1)}{12}=\frac{1}{12}}\)
Wynika z tego, że ten wierzchołek leży w tym przedziale, także funkcja osiąga najmniejszą wartość w punkcie \(\displaystyle{ x=\frac{1}{12}}\).

Następnie trzeba sprawdzić, dla którego z granicznych punktów Twojego przedziału <0,3> funkcja osiąga większą wartość - w tym punkcie będzie osiągać wartość największą.

f(0)=-2
f(3)=\(\displaystyle{ 6*9-3-2=54-5=49 \\
f(3)>f(0)}\)
Wynika z tego, że funkcja osiąga największą wartość w tym przedziale dla argumentu \(\displaystyle{ x=3}\)

aha...teraz wszystko jasne dziękuje bardzo...jeszcze tyle zadań przede mną ;/

co do 6 to podstaw za m to 3, powstanie Ci równanie kwadratowe które dla każdego x zawsze bedzie dodatnie
a 11 ma rozwiazania
(x-12)(x+1)(x-1)

zad. 3 - ok
zad. 4

\(\displaystyle{ y= \frac{1}{2}x ^{2}-zx+2}\)
Oznaczymy Twój parametr jako z, żeby było wyraźniej widać co jest czym.
Wykres leży nad osią OX wtedy, gdy współrzędna y wierzchołka jest większa od zero, czyli:

\(\displaystyle{ q=\frac{-\delta}{4a}>0 \\
\delta=b^{2}-4ac=(-z)^{2}-4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2=z-4 \\
\frac{-z+4}{4 \cdot \frac{1}{2}}>0 \\
\frac{-z+4}{2}>0 \\
-z+4>0 \\
z<4}\)
Wynika z tego, że wierzchołek paraboli leży nad osią OX, gdy z<4.

zad. 9
Jest tylko jedno rozwiązanie, bo pamiętaj, że mianownik nie może być równy zero.

w 11 jak to pogrupować żeby wyszły właśnie takie rozwiązania...?+
w 6 podstwiłam za m trojkę i wyszła mi delta ujemna

przeciez pogrupowalas )
wyciagasz x-12 przed nawias z pierwszego masz \(\displaystyle{ x^{2}}\) z drugiego - 1 a więc razem \(\displaystyle{ x^{2} -1}\) czyli (x-12)(x+1)(x-1)

co do 6 - bardzo dobrze Ci wyszlo delta ma byc ujemna:
a jest wieksze od 0, delta jest ujemna wiec wykres lezy nad osia OX wiec dla kazdego x ten trojmian kwadratowy przyjmuje wartosci dodatnie

no tak rzeczywiście

Zadanie 13
\(\displaystyle{ x^2>4x}\)
\(\displaystyle{ x^2-4x>0}\)
\(\displaystyle{ x(x-2)>0}\)
\(\displaystyle{ x\in(-\infty,0)\cup (2,\infty)}\)

Zadanie 11
\(\displaystyle{ x^3-12x^2+x-12=0}\)
\(\displaystyle{ x^2(x-12)+(x-12)=0}\)
\(\displaystyle{ (x-12)(x^2+1)=0}\)
\(\displaystyle{ x-12=0}\)
\(\displaystyle{ x=12}\)