Matematyka.pl

Sprawdź, że punkty A, B, C, D takie, że A=(-1;4), B= (5;-2), C=(7; 3), i D=(4; 6), sa wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD.
A) Napisz równanie osi symetrii tego trapezu.
B) Przekształć trapez przez symetrię względem początku układu współrzędnych i podaj współrzędne otrzymanych wierzchołków.
C) Wyznacz wektory zawierające przekątne trapezu.
D) Przesuń trapez o wektor [-1; 3] i podaj współrzędne otrzymanych wierzchołków.

Nie wiem jak się zabrac za to zadanie.
Może wyznaczyć na początek proste przechopdzące przez punkty AB BC CD DA???
Proszę o pomoc

D) Żeby przesunąć dany punkt o wektor, dodajesz do współrzędnych punktu współrzędne wektora. Stąd \(\displaystyle{ A'=(-2,7),B'=(4,1),C'=(6,6),D'=(3,9)}\)

C) Z tym chyba nie powinieneś mieć problemu (chociaż zadanie jest źle sformułowane, bo nie można powiedzieć, że wektor zawiera odcinek):
\(\displaystyle{ \vec{AC}=[8,-1]}\)
\(\displaystyle{ \vec{BD}=[-1,8]}\)

B) W symetrii względem środka układu współrzędnych obrazem punktu \(\displaystyle{ (x,y)}\) jest \(\displaystyle{ (-x,-y)}\).

A) Znajdujesz środki podstaw (ze wzoru na środek odcinka: środkiem odcinka o końcach \(\displaystyle{ (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}\) jest punkt \(\displaystyle{ \left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2},\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)}\))
\(\displaystyle{ S_{AB}=\left(\frac{-1+5}{2},\frac{4-2}{2}\right)=(2,1)}\)
podobnie \(\displaystyle{ S_{CD}=\left(\frac{11}{2},\frac{9}{2}\right)}\)
Teraz wystarczy znaleźć równanie prostej \(\displaystyle{ S_{AB}S_{CD}}\).

Żeby sprawdzić, że czworokąt ABCD jest trapezem, wystarczy pokazać, że:
\(\displaystyle{ \vec{AB}=k \cdot \vec{DC}}\) (czyli że te wektory są równoległe)
\(\displaystyle{ |BC|=|AD|}\) (wystarczy skorzystać ze wzoru na odległość w układzie współrzędnych)