Matematyka.pl

Wszyscy wiemy jak znaleźć np ostatnią cyfre liczby \(\displaystyle{ 2^{58743}}\), bo wystarczy sobie napisać sekwencje potęgową i podzielić, blablabla...
Ale jak wyznaczyć DWIE ostatnie cyfry liczby, to ja nie wiem. A musze to rozwiązać dla:

a) \(\displaystyle{ 2^{99}}\)
b) \(\displaystyle{ 28^9}\)

Prosze o pomoc z jakimś objaśnieniem, żebym zrozumiał i poznał zasade obliczania czegoś takiego, wiem tylko że trzeba zastosować kongruencje.

rozwazaj kolejne potegi 2 czy tam 28 modulo 100.

Dzienx, ale mógłbyś podać wynik żebym sobie sprawdził, plisss?

nie chce mi sie liczyc

No cóż nie jestem jakoś wybitnie wykształcony nie znam też za wiele wzorów i twierdzeń przez co cierpię, ( ciągle szukam jakichś fajnych książek) ale tego typu zadanie rozwiazywałbym starając się znaleźć jakąś powtarzalność, cykliczność

Jeśli chodzi o 2 to ta cykliczność dla szukanej ostatniej liczby wynosi 4 ( co 4 cyfra jest taka sama) natomiast dla drugiej od konca co 20 cyfra sie powtarza... i dla 2^99 wg mnie ostatnie 2 cyfry to będą 88 ?

a jeśli chodzi o potegi 28 to tutaj zauważyłem inną cykliczność jeśli chodzi o ostatnie DWIE cyfry, ponieważ z jedną nie ma kłopotu chyba ( co 4 cyfra sie powtarza), natomiast z dwoma ostatnimi wyglada to mniej wiecej tak ( cyklicznosc zauważyłem dopiero od 28^2 wzwyz):

28^2 --> 04
28^3 --> 12
28^4 --> 36

28^5 --> 08
28^6 --> 24
28^7 --> 72

28^8 --> 16
28^9 --> 48
...


co trzecia liczba którą Tworzą Dwie ostatnie cyfry potegi 28 jest dwa razy wieksza

Nie sądzę żeby istniał jakiś "wzór" na tego typu zadania, chyba w potęgach zawsze zetkniemy się z cyklicznością...

Jeśli jest na to jakiś prostszy sposób to bardzo proszę o napisanie, jestem bardzo ciekaw...

P.S. Szczerze mówiąc nie mam pojęcia co to ta kongruencja, może by ktoś przybliżył mi nieco ten temat ? Bardzo bym chciał wiedzieć nieco więcej

Altruisto, fajny pomysł z tą cyklicznościa, faktycznie, dla potęg, w których faktycznie coś powtarza sie co kilka wykładników to dobry sposób, ale jak np jest to kilkadziesiąt wykładników (np wyznaczanie 3 ostatnich cyfr) to lepiej jest wykorzystać kongruencje. Są one proste:
Mówi się, że "liczba a przystaje do b modulo p" jesli obie te liczby (a i b) przy dzieleniu przez p dają tą samą reszte. Takie przystawanie liczb oznacza sie tak jak np przystawanie trójkątów (trzy kreski w poziomie). I np gdy chcemy obliczyć 2 ostatnie cyfry 2^200, wykorzystujemy to że jak podziele liczbe przez 100 to reszta bedzie 2 ostatnie cyfry tej liczby, co nie? więc modulo 100 : (znak kongruencji zastąpie przez "=", ale to nie to samo):


2^200=2^200 (mod 100) /to oczywiste, a zawsze przystaje do a

2^200=(2^10)^20 (mod 100) /staram sie jakoś ta potege zmniejszyć

2^200=1024^20 (mod 100) /wiadomo

2^200=24^20 (mod 100) /24 dzielone na 100 daje te sama reszte co 1024 dzielone na 100, więc moge tak podstawić w kongruencji

2^200=(24^2)^10 (mod 100) /ten sam proceder co ostatnie 3 linijki

2^200=576^10
2^200=(76^2)^5
2^200=5776^5
2^200=76^5 /kazda potęga 76 konczy sie na 76, sprawdzilem na kalkulatorze )
2^200=76 )

TO są właśnie kongruencje, może zrozumiałeś, pobaw sie troche innymi liczbami, to wkońcu uznasz że to proste. Może w tym przypadku potęg dwójki łatwiej jest liczyć wykorzystując te okresowość, ale uwierz, kongruencje są przydatne...

28^9=(30-2)^9 - to sobie rozpisujesz z trojkata pascala, albo tam symbolem newtona, symbolem newtona lepiej, bo musisz tylko 2 ostatnie wyrazy, poniewaz 3 od konca to juz 30^2 razy cos tam, czyli liczba podzielna przez 100, ktora po dodaniu nie wplywa na dwie koncowe cyfry sumy;) no to policz sobie sume (9 po 8)*30*2^8 + 2^9

1. \(\displaystyle{ 2^{99}}\)
\(\displaystyle{ 2\equiv-2\bmod4\\2^2\equiv(-2)^2\bmod4\\2^2\equiv0\bmod4\\2^{99}\equiv2^{2\cdot49+1}\equiv2^{2\cdot49}\cdot2\equiv0\cdot2\equiv0\bmod4\\}\)
Z tw. Eulera
\(\displaystyle{ \NWD(2,25)=1\\
\phi(25)=20\\2^{20}\equiv1\bmod25\\2^{80}\equiv1\bmod25\\2^7\equiv3\bmod25\\2^{14}\equiv9\bmod25\\2^5\equiv7\bmod25\\2^{80}\cdot2^{14}\cdot2^{5}=2^{99}\equiv1\cdot9\cdot7=63\equiv13\bmod25}\)
z chińskiego twierdzenia o resztach układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} x\equiv 0\pmod{4} \\ x\equiv 13\pmod{25}\end{cases}\\x_1\in\left\{ 13,38,63,{\red88}\right\} \\x_2\in\left\{ 100,96,92,{\red88},...\right\}}\)
Ostatecznie \(\displaystyle{ 2^{99}\equiv88\bmod100}\). Czyli szukane cyfry to \(\displaystyle{ \boxed{88}}\)
2. \(\displaystyle{ 28^{9}}\)
\(\displaystyle{ 28^2\equiv84\bmod100\\28^4\equiv56\bmod100\\28^8\equiv36\bmod100\\28^9\equiv36\cdot28\equiv\boxed{8}\bmod100}\)
Ostatecznie \(\displaystyle{ 28^9\equiv8\bmod100}\). Czyli szukane cyfry to \(\displaystyle{ \boxed{08}}\).

W komórkę A1 excel wpisujesz 1, w komórkę B1 - 28
W komórkę A2 wpisujesz 2, w komórkę b2 formułę =mod(B1*$B$1, 100)

Następnie zaznaczasz komórki A2 i B2 i przeciągasz za prawy dolny róg w dół.