Matematyka.pl

Powiedzmy dla uproszczenia, że mam okrąg:
\(\displaystyle{ x^2+y^2=4}\)
I teraz mam obliczyć pole tylko części znajdującej się na lewo od osi OY. Załóżmy też, że przechodze sobie na biegunowe i liczę to używając całki podwójnej. I teraz moje pytanie: czy kąt po którym będę całkował mogę wybierać dowolnie? Wiem, że jest niby reguła, że mierzy w tym przypadku powinno to być od \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{ 2}}\) do \(\displaystyle{ \frac{ 3\pi }{ 2}}\), ale czy mogę np. wybrać kąt powiedzmy od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ \pi}\) lub \(\displaystyle{ \frac{- \pi }{ 2}}\) do \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{ 2}}\). Wychodzi to samo, ale czy można tak zrobić?

Kąt ,po którym całkujesz to kąt ,który otrzymujesz gdy "omiatasz " promieniem obszar całkowania.

No też mi się tak zdaje właśnie, bo co za różnica odkąd zaczne go mierzyć... Dzięki.

Jednak nie całkiem. Trzymając się reguły podanej wyżej unika się np. zmiany znaków przy f. trygonometrycznych w nowych granicach całkowania itp.

Jeżeli przez przejście do wsp. biegunowych rozumieć standardowe podstawienie nowych zmiennych: \(\displaystyle{ (r, \varphi) \to (x,y) = (r \cos \varphi , r \sin \varphi )}\), to nie ma siły, ale jedynie pierwszy przedział zmian kata \(\displaystyle{ \varphi}\) odpowiada kątom, które pozwalają całkować po wspomnianym kole (jego części).
To, że w tym przypadku dowolne dwie wartości kątów \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\), takie że: \(\displaystyle{ \beta - \alpha = \pi}\) dają dobry wynik to tylko zbieg okoliczności.
Drugie i trzecie zakresy zmian kąta odpowiadały by połówce koła lężącej w (odpowiednio): I i II ćwiartce, IV i I a przecież chodzi nam o połówkę z II i III ćwiartki.

Tak jest, dzięki za fachowy komentarz

Mógłbyś zerknąć na mój post z Deltą Diraca? Bawię się elektro-magnetyzmem teraz i jakoś nie lubię tak używać czegoś co nie wiem do końca skąd się bierze