Matematyka.pl

Prosilbym o pomoc w ustaleniu zbieznosci jeszcze kilku szeregow:

1) \(\displaystyle{ \bigsum_{i=1}^{\infty}\frac{(2n)! * 2^{n}}{n^{3n}}}\)

W tym szeregu wychodzi mi 0, czy to prawidlowy wynik?

2) \(\displaystyle{ \bigsum_{i=1}^{\infty}\frac{(3n)! * 2^{n}}{n^{2n}}}\)

W tym szeregu stanalem przy takiej postaci:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{\(3n+1) * (3n+2) * (3n+3) * 2 * n^{2n}}{(n+1)^{2n} * (n+1)^{2}}=??}\)

co dalej zrobic? Prosze o pomoc.

tutaj najlepiej stosować kryterium d'lamebrta.
czyli ciag \(\displaystyle{ \frac{U_{n+1}}{U_{n}}}\)

Korzystamy z d'Alemberta i np. w drugim otrzymujemy taką postać jaką napisałeś, czyli:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to \infty}\frac{(3n+1)(3n+2)(3n+3)*2*n^{2n}}{(n+1)^{2n}*(n+1)^2} = \lim_{n\to \infty}\frac{(3n+1)(3n+2)*3*2}{n+1}*(\frac{n}{n+1})^{2n}=}\)

\(\displaystyle{ =\lim_{n\to\infty}\frac{54n^2 + 54n + 12}{n+1}*(1-\frac{1}{n+1})^{2n}=\lim_{n\to \infty}\frac{54n^2 + 54n + 12}{n+1}*\lim_{n\to\infty}(1-\frac{1}{n+1})^{(n+1)\frac{2n}{n+1}}=}\)

\(\displaystyle{ =\infty * e^{-2} = \infty}\)

W pierwszym przykładzie analogicznie, tylko na końcu wyjdzie \(\displaystyle{ 0 * e^{-3} = 0}\)