Matematyka.pl

alfa i beta to miary kątów ostrych trójkąta prostokątnego, znajdź największą wartosc iloczynu

\(\displaystyle{ sin( \alpha ) \cdot sin(\beta)}\)


2.oblicza alfa i beta jesli \(\displaystyle{ \alpha \in <o, \frac{pi}{2} >}\) \(\displaystyle{ \beta \in <o, \frac{pi}{2} >}\)

\(\displaystyle{ sin( \alpha -\beta)= \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin( \alpha +\beta)=\frac{1}{2}}\)

1. rozumiem zadanie tak: kąt gamma jest ustalony, jedynie alfa i beta mogą się zmieniać. zauważmy, że \(\displaystyle{ \sin \alpha \cdot \sin\beta}\) występują we wzorach na kosinus sumy oraz kosinus różnicy. z tych wzorów mamy:
\(\displaystyle{ \sin\alpha\cdot\sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta))=}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\pi-\gamma))=\frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)+\cos\gamma)}\) wystarczy zbadać, kiedy \(\displaystyle{ \cos(\alpha-\beta)}\) jest największy.

2. przy poczynionych założeniach musi być: \(\displaystyle{ \alpha>\beta}\). stąd:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
\alpha-\beta=\frac{\pi}{6}\\
\alpha+\beta=\frac{5\pi}{6}
\end{cases}}\)
inny sposób: rozpisz lewe strony zgodnie z wzorami, odejmij stronami, przeanalizuj.

z drugim dzieki tobie sobie poradziłem ale nie wiem jak sprawdzi tego cosinusa

jak to?! kosinus przyjmuje największą wartość dla kątów postaci \(\displaystyle{ 2k\pi}\) w warunkach zadania \(\displaystyle{ \alpha -\beta}\) musi być równe 0. stąd \(\displaystyle{ \alpha=\beta}\) i trójkąt jest równoramienny