Matematyka.pl

Mam taki przykład:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (sin\frac{1}{n}) \cdot (x-2)^n}\)
Obliczam środek:
\(\displaystyle{ x_0=2}\)
Obliczam g:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{sin\frac{1}{n+1}}{sin\frac{1}{n}}=}\)
Mój problem to jak obliczyć dalej to granicę (korzystam z d'Alemberta)?

Skorzystaj ze znanej granicy:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1}\)

ale jak doprowadzić mój przykład do Twojej postaci, znam ten wzór z doświadczenia, też próbowałem go użyć, ale nie mam pojęcia jak. Którędy droga?

może tak:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{sin\frac{1}{n+1}}{sin\frac{1}{n}}= \frac{ \frac{1}{n+1} \cdot \frac{sin\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n+1}} }{ \frac{\frac{1}{n} \cdot sin\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}} }}\)

Teraz drobne pokształcenie, te sinusy zbiegają do 1, a i zostają tylko dwa pierwiastki z n, a to już chyba łatwo widać co będzie